Номер 55, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 55, страница 40.

Условие.

55. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $ \frac{13m^{-10}}{15n^{-14}} \cdot \frac{45n^3}{52m^{-50}} $

2) $ 2,7x^{-5}y^4 \cdot (-3x^{-2}y^{-6})^{-2} $

3) $ 3\frac{4}{7}a^{-6}b^2 \cdot \left(1\frac{3}{7}a^2b^{-3}\right)^{-2} $

4) $ (-0,01a^{-3}bc^{13})^{-2} \cdot (10bc^{-5})^{-3} $

5) $ \left(-\frac{1}{6}a^{-4}b^{-8}\right)^{-4} \cdot (-6a^3b^7)^{-3} $

6) $ \left(\frac{5a^{-3}}{b^{-2}}\right)^{-3} \cdot (25a^{-8}b^5)^2 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано выражение $ \frac{13m^{-10}}{15n^{-14}} \cdot \frac{45n^3}{52m^{-50}} $.

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные отдельно: $ \left(\frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 52}\right) \cdot \left(\frac{m^{-10}}{m^{-50}}\right) \cdot \left(\frac{n^3}{n^{-14}}\right) $.

Упростим числовой коэффициент, сокращая дроби: $ \frac{13 \cdot 45}{15 \cdot 52} = \frac{13}{52} \cdot \frac{45}{15} = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} $.

Упростим степени с переменными, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $: Для переменной $m$: $ \frac{m^{-10}}{m^{-50}} = m^{-10 - (-50)} = m^{-10 + 50} = m^{40} $. Для переменной $n$: $ \frac{n^3}{n^{-14}} = n^{3 - (-14)} = n^{3 + 14} = n^{17} $.

Собираем все части вместе: $ \frac{3}{4}m^{40}n^{17} $.

Ответ: $ \frac{3}{4}m^{40}n^{17} $.

2)

Дано выражение $ 2.7x^{-5}y^4 \cdot (-3x^{-2}y^{-6})^{-2} $.

Сначала раскроем скобки во втором множителе, используя правило возведения произведения в степень $ (abc)^n = a^n b^n c^n $ и правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{mn} $: $ (-3x^{-2}y^{-6})^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y^{-6})^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} \cdot x^{4} \cdot y^{12} = \frac{1}{9}x^4y^{12} $.

Теперь перемножим первый множитель на полученное выражение: $ 2.7x^{-5}y^4 \cdot \frac{1}{9}x^4y^{12} $.

Представим десятичную дробь $2.7$ как обыкновенную $ \frac{27}{10} $ и сгруппируем коэффициенты и переменные: $ \left(\frac{27}{10} \cdot \frac{1}{9}\right) \cdot (x^{-5} \cdot x^4) \cdot (y^4 \cdot y^{12}) $.

Упростим каждую группу: Коэффициент: $ \frac{27}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{10} $. Переменная $x$: $ x^{-5} \cdot x^4 = x^{-5+4} = x^{-1} $. Переменная $y$: $ y^4 \cdot y^{12} = y^{4+12} = y^{16} $.

Получаем выражение $ \frac{3}{10}x^{-1}y^{16} $.

Избавимся от отрицательной степени, используя правило $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $: $ \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{x} \cdot y^{16} = \frac{3y^{16}}{10x} $.

Ответ: $ \frac{3y^{16}}{10x} $.

3)

Дано выражение $ 3\frac{4}{7}a^{-6}b^2 \cdot \left(1\frac{3}{7}a^2b^{-3}\right)^{-2} $.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $ 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7} $. $ 1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7} $. Выражение принимает вид: $ \frac{25}{7}a^{-6}b^2 \cdot \left(\frac{10}{7}a^2b^{-3}\right)^{-2} $.

Раскроем скобки во втором множителе: $ \left(\frac{10}{7}a^2b^{-3}\right)^{-2} = \left(\frac{10}{7}\right)^{-2} \cdot (a^2)^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2} = \left(\frac{7}{10}\right)^2 \cdot a^{-4} \cdot b^6 = \frac{49}{100}a^{-4}b^6 $.

Перемножим полученные выражения: $ \frac{25}{7}a^{-6}b^2 \cdot \frac{49}{100}a^{-4}b^6 = \left(\frac{25}{7} \cdot \frac{49}{100}\right) \cdot (a^{-6}a^{-4}) \cdot (b^2b^6) $.

Упростим каждую группу: Коэффициент: $ \frac{25 \cdot 49}{7 \cdot 100} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{7}{4} $. Переменная $a$: $ a^{-6}a^{-4} = a^{-6-4} = a^{-10} $. Переменная $b$: $ b^2b^6 = b^{2+6} = b^8 $.

Получаем $ \frac{7}{4}a^{-10}b^8 $. Избавимся от отрицательной степени: $ \frac{7b^8}{4a^{10}} $.

Ответ: $ \frac{7b^8}{4a^{10}} $.

4)

Дано выражение $ (-0.01a^{-3}bc^{13})^{-2} \cdot (10bc^{-5})^{-3} $.

Преобразуем $ -0.01 $ в $ -\frac{1}{100} $ и раскроем скобки в первом множителе: $ \left(-\frac{1}{100}a^{-3}bc^{13}\right)^{-2} = \left(-\frac{1}{100}\right)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot b^{-2} \cdot (c^{13})^{-2} = (-100)^2 \cdot a^6 \cdot b^{-2} \cdot c^{-26} = 10000a^6b^{-2}c^{-26} $.

Раскроем скобки во втором множителе: $ (10bc^{-5})^{-3} = 10^{-3} \cdot b^{-3} \cdot (c^{-5})^{-3} = \frac{1}{1000}b^{-3}c^{15} $.

Перемножим полученные выражения: $ 10000a^6b^{-2}c^{-26} \cdot \frac{1}{1000}b^{-3}c^{15} = \left(10000 \cdot \frac{1}{1000}\right) \cdot a^6 \cdot (b^{-2}b^{-3}) \cdot (c^{-26}c^{15}) $.

Упростим каждую группу: Коэффициент: $ \frac{10000}{1000} = 10 $. Переменная $b$: $ b^{-2}b^{-3} = b^{-2-3} = b^{-5} $. Переменная $c$: $ c^{-26}c^{15} = c^{-26+15} = c^{-11} $.

Получаем $ 10a^6b^{-5}c^{-11} $. Избавимся от отрицательных степеней: $ \frac{10a^6}{b^5c^{11}} $.

Ответ: $ \frac{10a^6}{b^5c^{11}} $.

5)

Дано выражение $ \left(-\frac{1}{6}a^{-4}b^{-8}\right)^{-4} \cdot (-6a^3b^7)^{-3} $.

Раскроем скобки в первом множителе: $ \left(-\frac{1}{6}a^{-4}b^{-8}\right)^{-4} = \left(-\frac{1}{6}\right)^{-4} \cdot (a^{-4})^{-4} \cdot (b^{-8})^{-4} = (-6)^4 \cdot a^{16} \cdot b^{32} = 1296a^{16}b^{32} $.

Раскроем скобки во втором множителе: $ (-6a^3b^7)^{-3} = (-6)^{-3} \cdot (a^3)^{-3} \cdot (b^7)^{-3} = \frac{1}{(-6)^3} \cdot a^{-9} \cdot b^{-21} = -\frac{1}{216}a^{-9}b^{-21} $.

Перемножим полученные выражения: $ 1296a^{16}b^{32} \cdot \left(-\frac{1}{216}a^{-9}b^{-21}\right) = \left(1296 \cdot \left(-\frac{1}{216}\right)\right) \cdot (a^{16}a^{-9}) \cdot (b^{32}b^{-21}) $.

Упростим каждую группу: Коэффициент: $ -\frac{1296}{216} = -6 $. Переменная $a$: $ a^{16-9} = a^7 $. Переменная $b$: $ b^{32-21} = b^{11} $.

Собираем все части вместе: $ -6a^7b^{11} $.

Ответ: $ -6a^7b^{11} $.

6)

Дано выражение $ \left(\frac{5a^{-3}}{b^{-2}}\right)^{-3} \cdot (25a^{-8}b^5)^2 $.

Упростим первый множитель, применив степень к каждому элементу дроби: $ \left(\frac{5a^{-3}}{b^{-2}}\right)^{-3} = \frac{5^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3}}{(b^{-2})^{-3}} = \frac{5^{-3}a^9}{b^6} $.

Упростим второй множитель: $ (25a^{-8}b^5)^2 = 25^2 \cdot (a^{-8})^2 \cdot (b^5)^2 = 625a^{-16}b^{10} $.

Перемножим полученные выражения: $ \frac{5^{-3}a^9}{b^6} \cdot (625a^{-16}b^{10}) = \frac{5^{-3} \cdot 625 \cdot a^9 \cdot a^{-16} \cdot b^{10}}{b^6} $.

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные: Коэффициент: $ 5^{-3} \cdot 625 = \frac{1}{125} \cdot 625 = 5 $. Переменная $a$: $ a^9 \cdot a^{-16} = a^{9-16} = a^{-7} $. Переменная $b$: $ \frac{b^{10}}{b^6} = b^{10-6} = b^4 $.

Получаем $ 5a^{-7}b^4 $. Избавимся от отрицательной степени: $ \frac{5b^4}{a^7} $.

Ответ: $ \frac{5b^4}{a^7} $.