Номер 58, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 58, страница 41.

Условие.

58. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $ \frac{y^{-4} + 4}{y^{-6}} - \frac{y^{-8} - 16}{y^{-6}} \cdot \frac{1}{y^{-4} + 4} $;

2) $ (\frac{3a^{-4}}{a^{-8} - 10a^{-4} + 25} - \frac{a^{-4}}{a^{-4} - 5}) \cdot (\frac{25 - a^{-8}}{8 - a^{-4}} + \frac{10a^{-4}}{a^{-4} - 5}) $.

Функция $ y = \frac{k}{x} $ и её график

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим данное выражение по действиям.

Исходное выражение: $\frac{y^{-4} + 4}{y^{-6}} - \frac{y^{-8} - 16}{y^{-6}} \cdot \frac{1}{y^{-4} + 4}$

Заметим, что числитель второй дроби $y^{-8} - 16$ является разностью квадратов, так как $y^{-8} = (y^{-4})^2$ и $16 = 4^2$. Разложим его на множители:

$y^{-8} - 16 = (y^{-4} - 4)(y^{-4} + 4)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{y^{-4} + 4}{y^{-6}} - \frac{(y^{-4} - 4)(y^{-4} + 4)}{y^{-6}} \cdot \frac{1}{y^{-4} + 4}$

Во втором слагаемом мы можем сократить одинаковые множители $(y^{-4} + 4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y^{-4} + 4}{y^{-6}} - \frac{y^{-4} - 4}{y^{-6}}$

Теперь у обеих дробей одинаковый знаменатель $y^{-6}$. Выполним вычитание числителей:

$\frac{(y^{-4} + 4) - (y^{-4} - 4)}{y^{-6}} = \frac{y^{-4} + 4 - y^{-4} + 4}{y^{-6}} = \frac{8}{y^{-6}}$

Чтобы избавиться от отрицательной степени в знаменателе, воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Следовательно, $\frac{1}{y^{-6}} = y^6$.

$\frac{8}{y^{-6}} = 8y^6$

Результат является рациональным выражением и не содержит степеней с отрицательным показателем.

Ответ: $8y^6$.

2) Упростим выражение: $(\frac{3a^{-4}}{a^{-8} - 10a^{-4} + 25} - \frac{a^{-4}}{a^{-4} - 5}) \cdot \frac{25 - a^{-8}}{8 - a^{-4}} + \frac{10a^{-4}}{a^{-4} - 5}$.

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = a^{-4}$. Тогда $a^{-8} = (a^{-4})^2 = x^2$. Выражение примет вид:

$(\frac{3x}{x^2 - 10x + 25} - \frac{x}{x - 5}) \cdot \frac{25 - x^2}{8 - x} + \frac{10x}{x - 5}$

Решим по действиям:

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель первой дроби $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом двучлена $(x - 5)^2$.

$\frac{3x}{(x - 5)^2} - \frac{x}{x - 5} = \frac{3x}{(x - 5)^2} - \frac{x(x - 5)}{(x - 5)^2} = \frac{3x - x(x - 5)}{(x - 5)^2} = \frac{3x - x^2 + 5x}{(x - 5)^2} = \frac{8x - x^2}{(x - 5)^2} = \frac{x(8 - x)}{(x - 5)^2}$

2. Умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{x(8 - x)}{(x - 5)^2} \cdot \frac{25 - x^2}{8 - x}$

Сократим на $(8 - x)$. Разложим числитель $25 - x^2$ на множители как разность квадратов $(5 - x)(5 + x)$.

$\frac{x}{(x - 5)^2} \cdot (5 - x)(5 + x)$

Так как $(x - 5)^2 = (-(5 - x))^2 = (5 - x)^2$, мы можем сократить на $(5 - x)$:

$\frac{x(5 - x)(5 + x)}{(5 - x)^2} = \frac{x(5 + x)}{5 - x}$

3. Прибавим оставшееся слагаемое:

$\frac{x(5 + x)}{5 - x} + \frac{10x}{x - 5}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 5)$, для чего изменим знак у первой дроби: $5 - x = -(x - 5)$.

$-\frac{x(5 + x)}{x - 5} + \frac{10x}{x - 5} = \frac{-x(5 + x) + 10x}{x - 5} = \frac{-5x - x^2 + 10x}{x - 5} = \frac{5x - x^2}{x - 5}$

Вынесем $x$ в числителе за скобки:

$\frac{x(5 - x)}{x - 5} = \frac{-x(x - 5)}{x - 5} = -x$

4. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = a^{-4}$:

$-x = -a^{-4}$

Запишем результат в виде рационального выражения, не содержащего степеней с отрицательным показателем:

$-a^{-4} = -\frac{1}{a^4}$

Ответ: $-\frac{1}{a^4}$.