Номер 64, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 64, страница 42.

Условие.

64. Постройте график функции $y = - \frac{3}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{|x|}$ проанализируем её свойства.

1. Область определения.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Чётность и симметрия.

Проверим функцию на чётность, подставив $-x$ вместо $x$:

$y(-x) = -\frac{3}{|-x|} = -\frac{3}{|x|} = y(x)$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Раскрытие модуля.

Раскроем модуль $|x|$ по определению:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -\frac{3}{x}$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x}$.

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

4. Построение графика.

График будет состоять из двух частей (ветвей гиперболы):

а) Построение для $x > 0$.
Строим график функции $y = -\frac{3}{x}$ для положительных значений $x$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в четвёртой координатной четверти. Составим таблицу значений:

$x$	0.5	1	3	6
$y$	-6	-3	-1	-0.5

Асимптотами для этой ветви являются положительная часть оси Ox ($y=0$) и положительная часть оси Oy ($x=0$).

б) Построение для $x < 0$.
Можно построить график функции $y = \frac{3}{x}$ для отрицательных $x$. Это ветвь гиперболы в третьей четверти.

Однако, поскольку функция чётная, мы можем просто отразить уже построенную в IV четверти ветвь симметрично относительно оси Oy. Таким образом, мы получим вторую ветвь графика в III координатной четверти. Точки для этой ветви будут, например: $(-1, -3), (-3, -1), (-0.5, -6)$.

5. Итоговый график.

График функции $y = -\frac{3}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в третьей и четвёртой координатных четвертях, симметрично относительно оси Oy. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой. Все значения функции отрицательны.

Ответ: График функции $y = -\frac{3}{|x|}$ представляет собой две ветви гиперболы. Одна ветвь расположена в IV четверти и является графиком функции $y = -3/x$ для $x>0$. Вторая ветвь расположена в III четверти и симметрична первой относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$ (ось Oy), горизонтальная асимптота — $y=0$ (ось Ox).