Номер 69, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 69, страница 43.

Условие.

69. Дана функция $y = \begin{cases} x + 2, \text{ если } x \leq 2, \\ x^2, \text{ если } x > 2. \end{cases}$

1) Найдите $f (-4), f (2), f (5).$

2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что в зависимости от значения аргумента $x$, значение функции $y$ вычисляется по разным формулам.

Функция задана как: $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x \le 2 \\ x^2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

1) Найдите $f(-4), f(2), f(5)$.

Чтобы найти значение функции в конкретной точке, нужно сначала определить, какому условию удовлетворяет аргумент $x$, и затем подставить его в соответствующую формулу.

Вычисление $f(-4)$:
Значение аргумента $x = -4$ удовлетворяет условию $x \le 2$, так как $-4 \le 2$.
Следовательно, используем первую формулу: $y = x + 2$.
$f(-4) = -4 + 2 = -2$.

Вычисление $f(2)$:
Значение аргумента $x = 2$ удовлетворяет условию $x \le 2$, так как $2 = 2$.
Следовательно, также используем первую формулу: $y = x + 2$.
$f(2) = 2 + 2 = 4$.

Вычисление $f(5)$:
Значение аргумента $x = 5$ удовлетворяет условию $x > 2$, так как $5 > 2$.
Следовательно, используем вторую формулу: $y = x^2$.
$f(5) = 5^2 = 25$.

Ответ: $f(-4) = -2$, $f(2) = 4$, $f(5) = 25$.

2) Постройте график данной функции.

График данной функции будет состоять из двух частей, "склеенных" в точке, где $x=2$.

Часть 1: Построение графика для $x \le 2$.
На этом промежутке функция задается формулой $y = x + 2$. Ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем граничную точку $x=2$ и еще одну точку из этого интервала, например $x=0$.
- При $x = 2$, $y = 2 + 2 = 4$. Координаты точки: $(2, 4)$.
- При $x = 0$, $y = 0 + 2 = 2$. Координаты точки: $(0, 2)$.
Графиком является луч, проходящий через точку $(0, 2)$ и заканчивающийся в точке $(2, 4)$, которая включается в график, так как условие $x \le 2$ нестрогое.

Часть 2: Построение графика для $x > 2$.
На этом промежутке функция задается формулой $y = x^2$. Ее график — это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Нас интересует только та часть, где $x > 2$.
Найдем, к какой точке стремится график при $x$, приближающемся к 2 справа. Если $x=2$, то $y = 2^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика начинается в точке $(2, 4)$, но сама точка не включается в эту часть, так как условие $x > 2$ строгое. Такая точка называется "выколотой".
Для более точного построения найдем еще одну точку, например, при $x=3$.
- При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$.
Графиком является часть параболы, выходящая из точки $(2, 4)$ и проходящая через точку $(3, 9)$.

Объединение графиков.
Первая часть графика (луч) заканчивается в точке $(2, 4)$, включая ее. Вторая часть графика (часть параболы) начинается из той же точки $(2, 4)$, не включая ее. Так как "конец" первого графика совпадает с "началом" второго, разрыва в точке $x=2$ не происходит. Функция является непрерывной. Итоговый график — это луч, который в точке $(2, 4)$ плавно переходит в ветвь параболы.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y=x+2$ на интервале $(-\infty, 2]$ и части параболы $y=x^2$ на интервале $(2, \infty)$. Обе части непрерывно соединяются в точке $(2, 4)$.