Номер 73, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 73, страница 43.

Условие.

73. При каких значениях a имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{a-5}$;

2) $\sqrt{7-a}$;

3) $\sqrt{(a-1)^2}$;

4) $\sqrt{a^6+1}$;

5) $\sqrt{-a-1}$;

6) $\sqrt{-(a-1)^{10}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение $\sqrt{a-5}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Запишем соответствующее неравенство:

$a - 5 \ge 0$

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$a \ge 5$

Следовательно, выражение имеет смысл при $a$, больших или равных 5.

Ответ: $a \ge 5$, или в виде интервала $a \in [5; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{7-a}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$7 - a \ge 0$

Перенесем $a$ в правую часть неравенства:

$7 \ge a$

Это неравенство можно записать как $a \le 7$. Следовательно, выражение имеет смысл при $a$, меньших или равных 7.

Ответ: $a \le 7$, или в виде интервала $a \in (-\infty; 7]$.

3) Выражение $\sqrt{(a-1)^2}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$(a-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом. Поэтому данное неравенство выполняется для любого действительного значения $a$.

Ответ: $a$ - любое число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{a^6+1}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$a^6 + 1 \ge 0$

Поскольку $a$ возводится в четную степень (6), результат $a^6$ всегда будет неотрицательным: $a^6 \ge 0$ для любого $a$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет строго положительным: $a^6 + 1 \ge 1 > 0$. Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного значения $a$.

Ответ: $a$ - любое число, или $a \in (-\infty; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{-a-1}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$-a - 1 \ge 0$

Прибавим $a$ к обеим частям неравенства:

$-1 \ge a$

Это неравенство можно записать как $a \le -1$. Следовательно, выражение имеет смысл при $a$, меньших или равных -1.

Ответ: $a \le -1$, или в виде интервала $a \in (-\infty; -1]$.

6) Выражение $\sqrt{-(a-1)^{10}}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно:

$-(a-1)^{10} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$(a-1)^{10} \le 0$

С другой стороны, выражение $(a-1)^{10}$ является четной степенью, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a-1)^{10} \ge 0$. Единственное число, которое одновременно меньше или равно нулю и больше или равно нулю, — это ноль. Следовательно, должно выполняться равенство:

$(a-1)^{10} = 0$

Это возможно только тогда, когда основание степени равно нулю:

$a - 1 = 0$

$a = 1$

Таким образом, выражение имеет смысл только при одном значении $a$.

Ответ: $a = 1$.