Номер 53, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 53, страница 40.

Условие.

53. Найдите значение выражения:

1) $32^{-3} : 16^{-3};$

2) $\frac{25^{-8} \cdot 5^7}{(-125)^{-5} \cdot (-5)^4};$

3) $\frac{14^6 \cdot 2^{-8}}{28^{-3} \cdot 7^{11}};$

4) $\frac{(0,5)^{-5} \cdot 4^{-6}}{8^{-2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для решения воспользуемся свойством степени $(a:b)^n = a^n : b^n$.

$32^{-3} : 16^{-3} = (32 : 16)^{-3}$

Выполним деление в скобках:

$32 : 16 = 2$

Подставим результат обратно в выражение:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

2)

Представим все основания в виде степеней числа 5. Учтем, что отрицательное число в четной степени становится положительным, а в нечетной — остается отрицательным.

$25 = 5^2$

$-125 = -(5^3)$

$(-5)^4 = 5^4$ (так как степень 4 — четная)

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{25^{-8} \cdot 5^7}{(-125)^{-5} \cdot (-5)^4} = \frac{(5^2)^{-8} \cdot 5^7}{(-(5^3))^{-5} \cdot 5^4}$

Раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(5^2)^{-8} = 5^{-16}$

$( -(5^3) )^{-5} = \frac{1}{(-(5^3))^5} = \frac{1}{-(5^{15})} = -5^{-15}$

Выражение примет вид:

$\frac{5^{-16} \cdot 5^7}{-5^{-15} \cdot 5^4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{5^{-16+7}}{-5^{-15+4}} = \frac{5^{-9}}{-5^{-11}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$-5^{-9 - (-11)} = -5^{-9+11} = -5^2 = -25$

Ответ: $-25$.

3)

Разложим основания 14 и 28 на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 7)^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2 \cdot 7)^{-3} \cdot 7^{11}}$

Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$:

$\frac{2^6 \cdot 7^6 \cdot 2^{-8}}{(2^2)^{-3} \cdot 7^{-3} \cdot 7^{11}} = \frac{2^6 \cdot 7^6 \cdot 2^{-8}}{2^{-6} \cdot 7^{-3} \cdot 7^{11}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе:

$\frac{2^{6-8} \cdot 7^6}{2^{-6} \cdot 7^{-3+11}} = \frac{2^{-2} \cdot 7^6}{2^{-6} \cdot 7^8}$

Выполним деление степеней:

$2^{-2 - (-6)} \cdot 7^{6-8} = 2^{-2+6} \cdot 7^{-2} = 2^4 \cdot 7^{-2}$

Вычислим результат:

$2^4 \cdot \frac{1}{7^2} = \frac{16}{49}$

Ответ: $\frac{16}{49}$.

4)

Представим все основания в виде степеней числа 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(0,5)^{-5} \cdot 4^{-6}}{8^{-2}} = \frac{(2^{-1})^{-5} \cdot (2^2)^{-6}}{(2^3)^{-2}}$

Раскроем скобки, перемножая показатели степеней:

$\frac{2^{(-1) \cdot (-5)} \cdot 2^{2 \cdot (-6)}}{2^{3 \cdot (-2)}} = \frac{2^5 \cdot 2^{-12}}{2^{-6}}$

Выполним умножение в числителе:

$\frac{2^{5-12}}{2^{-6}} = \frac{2^{-7}}{2^{-6}}$

Выполним деление:

$2^{-7 - (-6)} = 2^{-7+6} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.