Номер 54, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 54, страница 40.

Условие.

54. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{7}a^{-6}b^4 \cdot \frac{21}{32}a^8b^{-9};$

2) $-0.3m^{-4}b^6 \cdot 1.3m^2b^{-2};$

3) $0.28a^{-4}b^3c^{-5} \cdot 1\frac{3}{7}a^7b^{-16}c^7;$

4) $7x^{-8} \cdot (-2x^{-3}y^5)^{-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное выражение: $\frac{2}{7}a^{-6}b^4 \cdot \frac{21}{32}a^8b^{-9}$.
Чтобы упростить выражение, перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями по отдельности.
Произведение коэффициентов: $\frac{2}{7} \cdot \frac{21}{32} = \frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 32} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 16} = \frac{3}{16}$.
Произведение степеней с основанием $a$, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $a^{-6} \cdot a^8 = a^{-6+8} = a^2$.
Произведение степеней с основанием $b$: $b^4 \cdot b^{-9} = b^{4+(-9)} = b^{-5}$.
Объединяем все части вместе: $\frac{3}{16}a^2b^{-5}$.
Ответ: $\frac{3}{16}a^2b^{-5}$.

2) Исходное выражение: $-0,3m^{-4}b^6 \cdot 1,3m^2b^{-2}$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Произведение коэффициентов: $-0,3 \cdot 1,3 = -0,39$.
Произведение степеней с основанием $m$: $m^{-4} \cdot m^2 = m^{-4+2} = m^{-2}$.
Произведение степеней с основанием $b$: $b^6 \cdot b^{-2} = b^{6+(-2)} = b^4$.
Собираем полученные результаты: $-0,39m^{-2}b^4$.
Ответ: $-0,39m^{-2}b^4$.

3) Исходное выражение: $0,28a^{-4}b^3c^{-5} \cdot 1\frac{3}{7}a^7b^{-16}c^7$.
Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби.
$0,28 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25}$.
$1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$.
Выражение принимает вид: $\frac{7}{25}a^{-4}b^3c^{-5} \cdot \frac{10}{7}a^7b^{-16}c^7$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{7}{25} \cdot \frac{10}{7} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями: $a^{-4} \cdot a^7 = a^{-4+7} = a^3$.
$b^3 \cdot b^{-16} = b^{3+(-16)} = b^{-13}$.
$c^{-5} \cdot c^7 = c^{-5+7} = c^2$.
Объединяем все части: $0,4a^3b^{-13}c^2$.
Ответ: $0,4a^3b^{-13}c^2$.

4) Исходное выражение: $7x^{-8} \cdot (-2x^{-3}y^5)^{-3}$.
Сначала возведем второй множитель в степень $-3$, используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(-2x^{-3}y^5)^{-3} = (-2)^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^5)^{-3}$.
Вычислим каждую часть: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$.
$(x^{-3})^{-3} = x^{(-3) \cdot (-3)} = x^9$.
$(y^5)^{-3} = y^{5 \cdot (-3)} = y^{-15}$.
Таким образом, второй множитель равен $-\frac{1}{8}x^9y^{-15}$.
Теперь умножим первый множитель на полученное выражение: $7x^{-8} \cdot (-\frac{1}{8}x^9y^{-15})$.
Перемножим коэффициенты и степени: $(7 \cdot (-\frac{1}{8})) \cdot (x^{-8} \cdot x^9) \cdot y^{-15} = -\frac{7}{8}x^{-8+9}y^{-15} = -\frac{7}{8}x^1y^{-15} = -\frac{7}{8}xy^{-15}$.
Ответ: $-\frac{7}{8}xy^{-15}$.