Номер 103, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 103, страница 48.

Условие.

103. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 13}{x - \sqrt{13}}$;

2) $\frac{\sqrt{x} + 11}{x - 121}$;

3) $\frac{b - 5\sqrt{b}}{b - 25}$;

4) $\frac{15 + \sqrt{15}}{\sqrt{15}}$;

5) $\frac{x + 16\sqrt{x} + 64}{x - 64}$;

6) $\frac{5 - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 13}{x - \sqrt{13}}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для числителя. Представим число $13$ как $(\sqrt{13})^2$.
Числитель примет вид: $x^2 - 13 = x^2 - (\sqrt{13})^2 = (x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$.
Теперь подставим разложенное выражение обратно в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})}{x - \sqrt{13}}$
Сокращаем общий множитель $(x - \sqrt{13})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$x + \sqrt{13}$.
Ответ: $x + \sqrt{13}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{x} + 11}{x - 121}$ используем формулу разности квадратов для знаменателя, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $121$ как $11^2$.
Знаменатель примет вид: $x - 121 = (\sqrt{x})^2 - 11^2 = (\sqrt{x} - 11)(\sqrt{x} + 11)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{x} + 11}{(\sqrt{x} - 11)(\sqrt{x} + 11)}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} + 11)$:
$\frac{1}{\sqrt{x} - 11}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - 11}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{b - 5\sqrt{b}}{b - 25}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{b}$:
$b - 5\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $b - 25 = (\sqrt{b})^2 - 5^2 = (\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 5)}{(\sqrt{b} - 5)(\sqrt{b} + 5)}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{b} - 5)$:
$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} + 5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} + 5}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{15 + \sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{15}$. Для этого представим $15$ как $\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}$.
Числитель: $15 + \sqrt{15} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} + 1 \cdot \sqrt{15} = \sqrt{15}(\sqrt{15} + 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{\sqrt{15}(\sqrt{15} + 1)}{\sqrt{15}}$
Сокращаем $\sqrt{15}$ в числителе и знаменателе:
$\sqrt{15} + 1$.
Ответ: $\sqrt{15} + 1$.

5) Для сокращения дроби $\frac{x + 16\sqrt{x} + 64}{x - 64}$ заметим, что числитель является полным квадратом, а знаменатель — разностью квадратов. Используем формулы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ и $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $x = (\sqrt{x})^2$ и $64 = 8^2$.
Числитель: $x + 16\sqrt{x} + 64 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{x} + 8^2 = (\sqrt{x} + 8)^2$.
Знаменатель: $x - 64 = (\sqrt{x})^2 - 8^2 = (\sqrt{x} - 8)(\sqrt{x} + 8)$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{x} + 8)^2}{(\sqrt{x} - 8)(\sqrt{x} + 8)}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} + 8)$:
$\frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} - 8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} - 8}$.

6) Для сокращения дроби $\frac{5 - \sqrt{10}}{\sqrt{10} - 2}$ вынесем общие множители из числителя и знаменателя.
В числителе вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $5 - \sqrt{10} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{2}$: $\sqrt{10} - 2 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$:
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.