Номер 101, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{63} - \sqrt{28}) \cdot \sqrt{7}$;

2) $(7\sqrt{3} + \sqrt{48} - \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3}$;

3) $(6 - \sqrt{5})(2 + 7\sqrt{5})$;

4) $(5\sqrt{2} + 6\sqrt{3})(6\sqrt{2} - 5\sqrt{3})$;

5) $(\sqrt{17} - \sqrt{11})(\sqrt{17} + \sqrt{11})$;

6) $(2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$;

7) $(\sqrt{6} - 2)^2$;

8) $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{3})^2$.

1) Для решения выражения $(\sqrt{63}-\sqrt{28})\cdot\sqrt{7}$ сначала упростим корни в скобках. Разложим подкоренные выражения на множители:

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$(3\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = 7$

Ответ: $7$

2) В выражении $(7\sqrt{3} + \sqrt{48} - \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3}$ также упростим корни в скобках:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения:

$(7\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Сложим и вычтем слагаемые в скобках:

$(7+4-5)\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$

Ответ: $18$

3) Чтобы перемножить скобки $(6 - \sqrt{5})(2 + 7\sqrt{5})$, воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первой скобки умножается на каждый член второй):

$(6 - \sqrt{5})(2 + 7\sqrt{5}) = 6 \cdot 2 + 6 \cdot 7\sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 2 - \sqrt{5} \cdot 7\sqrt{5}$

Выполним умножение:

$12 + 42\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 7 \cdot 5 = 12 + 42\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 35$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(12 - 35) + (42\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = -23 + 40\sqrt{5}$

Ответ: $-23 + 40\sqrt{5}$

4) Для умножения $(5\sqrt{2} + 6\sqrt{3})(6\sqrt{2} - 5\sqrt{3})$ также используем правило умножения многочленов:

$(5\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} \cdot (-5\sqrt{3})) + (6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2}) + (6\sqrt{3} \cdot (-5\sqrt{3}))$

Выполним умножение:

$(5 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) - (5 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) + (6 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) - (6 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$(30 \cdot 2) - 25\sqrt{6} + 36\sqrt{6} - (30 \cdot 3)$

$60 - 25\sqrt{6} + 36\sqrt{6} - 90$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(60 - 90) + (-25\sqrt{6} + 36\sqrt{6}) = -30 + 11\sqrt{6}$

Ответ: $-30 + 11\sqrt{6}$

5) Выражение $(\sqrt{17} - \sqrt{11})(\sqrt{17} + \sqrt{11})$ представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = \sqrt{17}$ и $b = \sqrt{11}$.

Применим формулу:

$(\sqrt{17})^2 - (\sqrt{11})^2 = 17 - 11 = 6$

Ответ: $6$

6) Выражение $(2\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$ также является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = 2\sqrt{x}$ и $b = 5\sqrt{y}$.

Применим формулу:

$(2\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2 = 2^2(\sqrt{x})^2 - 5^2(\sqrt{y})^2 = 4x - 25y$

Ответ: $4x - 25y$

7) Для возведения в квадрат выражения $(\sqrt{6} - 2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{6}$ и $b = 2$.

Применим формулу:

$(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$10 - 4\sqrt{6}$

Ответ: $10 - 4\sqrt{6}$

8) Для возведения в квадрат выражения $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{3})^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{7}$ и $b = 2\sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{7}) \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2$

Вычислим каждый член:

$(3^2 \cdot (\sqrt{7})^2) - (2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}) + (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2)$

$(9 \cdot 7) - 12\sqrt{21} + (4 \cdot 3) = 63 - 12\sqrt{21} + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$75 - 12\sqrt{21}$

Ответ: $75 - 12\sqrt{21}$