Номер 102, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 102, страница 48.

Условие.

102. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{3} + 6\sqrt{20} - 7\sqrt{45}) \cdot \sqrt{5} - \sqrt{60};$

2) $(\sqrt{7} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) - (\sqrt{6} - 3\sqrt{2})^2;$

3) $(5 - \sqrt{2})^2 + (3 + \sqrt{2})^2;$

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(2\sqrt{3} + 6\sqrt{20} - 7\sqrt{45}) \cdot \sqrt{5} - \sqrt{60}$

Сначала упростим выражения с корнями, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{3} + 6 \cdot 2\sqrt{5} - 7 \cdot 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{15} = (2\sqrt{3} + 12\sqrt{5} - 21\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$(2\sqrt{3} - 9\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{15}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt{5}$:

$2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - 9\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{15} = 2\sqrt{15} - 9 \cdot 5 - 2\sqrt{15}$

Выполним вычисления и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{15} - 45 - 2\sqrt{15} = -45$

Ответ: $-45$

2) $(\sqrt{7} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) - (\sqrt{6} - 3\sqrt{2})^2$

Рассмотрим первую часть выражения: $(\sqrt{7} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + \sqrt{7})$. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\sqrt{7} - 2\sqrt{3})(\sqrt{7} + 2\sqrt{3})$.

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = 2\sqrt{3}$.

$(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 7 - (4 \cdot 3) = 7 - 12 = -5$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(\sqrt{6} - 3\sqrt{2})^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{6}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

$(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 6 - 6\sqrt{12} + 9 \cdot 2 = 6 - 6\sqrt{4 \cdot 3} + 18$

$6 - 6 \cdot 2\sqrt{3} + 18 = 24 - 12\sqrt{3}$

Теперь объединим обе части, вычитая вторую из первой:

$-5 - (24 - 12\sqrt{3}) = -5 - 24 + 12\sqrt{3} = -29 + 12\sqrt{3}$

Ответ: $-29 + 12\sqrt{3}$

3) $(5 - \sqrt{2})^2 + (3 + \sqrt{2})^2$

Раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первая скобка: $(5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

Вторая скобка: $(3 + \sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$

Сложим полученные результаты:

$(27 - 10\sqrt{2}) + (11 + 6\sqrt{2}) = 27 + 11 - 10\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 38 - 4\sqrt{2}$

Ответ: $38 - 4\sqrt{2}$

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.

Найдем $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = (\sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^2 = 9 - 4\sqrt{5}$

$b^2 = (\sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^2 = 9 + 4\sqrt{5}$

Теперь найдем произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 \cdot \sqrt{(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - (16 \cdot 5) = 81 - 80 = 1$

Тогда $2ab = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$.

Подставим найденные значения в формулу квадрата разности:

$a^2 + b^2 - 2ab = (9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$9 + 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 2 = 18 - 2 = 16$

Ответ: $16$