Номер 110, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 110, страница 50.

Условие.

110. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ и прямой:

1) $y = 2$;

2) $y = 0,3$;

3) $y = -5$;

4) $y = 200$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти координаты точки пересечения графиков, не выполняя построения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков. В точке пересечения ее координаты $(x; y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Мы имеем функцию $y = \sqrt{x}$ и прямую $y = a$. Система уравнений будет выглядеть так:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = a \end{cases}$

Приравняв правые части уравнений, получим $\sqrt{x} = a$. Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат: $x = a^2$. При этом необходимо учитывать, что по определению арифметического квадратного корня, значение $y = \sqrt{x}$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$. Следовательно, пересечение возможно только для прямых $y=a$, где $a \ge 0$.

1) $y = 2$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2 \end{cases}$

Поскольку $2 \ge 0$, точка пересечения существует. Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$2 = \sqrt{x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 2^2 = 4$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$.

2) $y = 0,3$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 0,3 \end{cases}$

Поскольку $0,3 \ge 0$, точка пересечения существует. Подставим значение $y$:

$0,3 = \sqrt{x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (0,3)^2 = 0,09$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(0,09; 0,3)$.

Ответ: $(0,09; 0,3)$.

3) $y = -5$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -5 \end{cases}$

Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $y \ge 0$. Прямая $y = -5$ состоит из точек, у которых ордината равна $-5$. Так как $-5 < 0$, эта прямая не имеет общих точек с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Уравнение $\sqrt{x} = -5$ не имеет действительных корней.

Ответ: точек пересечения нет.

4) $y = 200$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 200 \end{cases}$

Поскольку $200 \ge 0$, точка пересечения существует. Подставим значение $y$:

$200 = \sqrt{x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 200^2 = 40000$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(40000; 200)$.

Ответ: $(40000; 200)$.