Номер 115, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 115, страница 50.

Условие.

115. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -0,5x + 4$ и определите координаты точки их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной системе координат и найти их точку пересечения аналитически.

Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси абсцисс. Область определения функции $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0, 0).
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1, 1).
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4, 2).
• при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9, 3).

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции.

Построение графика функции $y = -0,5x + 4$

Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = -0,5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка (0, 4).
• Пересечение с осью OX: при $y=0$, $0 = -0,5x + 4 \implies 0,5x = 4 \implies x=8$. Точка (8, 0).

Проведя прямую через точки (0, 4) и (8, 0), получим график функции.

Определение координат точки пересечения

При построении графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точные координаты этой точки, нужно решить систему уравнений: $ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -0,5x + 4 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:
$\sqrt{x} = -0,5x + 4$

Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$-0,5x + 4 \ge 0$
$4 \ge 0,5x$
$8 \ge x$

Учитывая область определения функции $y=\sqrt{x}$ ($x \ge 0$), получаем, что искомое значение $x$ должно лежать в промежутке $[0, 8]$.

Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (-0,5x + 4)^2$
$x = (0,25x^2 - 2 \cdot 0,5x \cdot 4 + 16)$
$x = 0,25x^2 - 4x + 16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$0,25x^2 - 5x + 16 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 4:
$x^2 - 20x + 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 20, а их произведение — 64. Легко подобрать корни:
$x_1 = 4$
$x_2 = 16$

Проверим, удовлетворяют ли корни ранее найденному условию $0 \le x \le 8$.
$x_1 = 4$ — удовлетворяет условию.
$x_2 = 16$ — не удовлетворяет условию ($16 > 8$), следовательно, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

Таким образом, абсцисса точки пересечения равна $x=4$.
Найдем соответствующую ординату, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$y = \sqrt{4} = 2$

Итак, точка пересечения графиков имеет координаты (4, 2).

Ответ: Координаты точки пересечения графиков (4, 2).