Номер 114, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} \geq 9;$

2) $\sqrt{x} < 5;$

3) $6 < \sqrt{x} \leq 11?$

1) $\sqrt{x} \ge 9$

Для решения данного неравенства необходимо выполнить следующие шаги:
1. Определить область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, то $x \ge 0$.
2. Решить само неравенство. Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 9) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \ge 9^2$
$x \ge 81$
3. Совместить полученное решение с ОДЗ. Условие $x \ge 81$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge 0$). Следовательно, решение неравенства — $x \ge 81$.
Ответ: $x \ge 81$.

2) $\sqrt{x} < 5$

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x \ge 0$.
2. Так как обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 5) неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 < 5^2$
$x < 25$
3. Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x \ge 0$ и $x < 25$. Объединяя их, получаем итоговый ответ.
Ответ: $0 \le x < 25$.

3) $6 < \sqrt{x} \le 11$

1. ОДЗ для этого двойного неравенства также $x \ge 0$.
2. Все части неравенства ($6$, $\sqrt{x}$ и $11$) являются положительными. Это позволяет нам возвести все части в квадрат, сохраняя знаки неравенств:
$6^2 < (\sqrt{x})^2 \le 11^2$
$36 < x \le 121$
3. Полученный промежуток $36 < x \le 121$ полностью входит в область допустимых значений ($x \ge 0$), поэтому он и является окончательным решением.
Ответ: $36 < x \le 121$.