Номер 131, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 47 см, а диагональ прямоугольника — 65 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$.

Согласно условию задачи:

1. Разность сторон равна 47 см. Предположим, что $a > b$, тогда: $a - b = 47$ см.

2. Диагональ прямоугольника равна 65 см: $d = 65$ см.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где стороны $a$ и $b$ являются катетами, а диагональ $d$ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставив значение диагонали, получим:

$a^2 + b^2 = 65^2 = 4225$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a - b = 47 \\ a^2 + b^2 = 4225 \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения:

$a = b + 47$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$(b + 47)^2 + b^2 = 4225$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$b^2 + 2 \cdot b \cdot 47 + 47^2 + b^2 = 4225$

$b^2 + 94b + 2209 + b^2 = 4225$

Приведём подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2b^2 + 94b + 2209 - 4225 = 0$

$2b^2 + 94b - 2016 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$b^2 + 47b - 1008 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = 47^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1008) = 2209 + 4032 = 6241$

Найдём корни уравнения по формуле $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{6241} = 79$

$b_1 = \frac{-47 + 79}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$b_2 = \frac{-47 - 79}{2} = \frac{-126}{2} = -63$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, корень $b_2 = -63$ не является решением задачи. Следовательно, одна из сторон равна $b = 16$ см.

Теперь найдём вторую сторону $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = b + 47$:

$a = 16 + 47 = 63$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 63 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 16 см и 63 см.