Номер 132, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Найдите три последовательных чётных натуральных числа, если квадрат второго из них на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел.

Пусть три последовательных чётных натуральных числа это $n_1$, $n_2$ и $n_3$.Так как числа являются последовательными чётными, разница между соседними числами равна 2.Для удобства решения обозначим среднее (второе) число как $x$. Тогда первое число будет $x-2$, а третье число будет $x+2$.По условию, все три числа являются натуральными, значит $x-2 > 0$, откуда $x > 2$. Также $x$ должно быть чётным числом.

Теперь составим уравнение согласно условию задачи.Квадрат второго числа: $x^2$.Произведение первого и третьего чисел: $(x-2)(x+2)$.Удвоенное произведение первого и третьего чисел: $2(x-2)(x+2)$.По условию, квадрат второго числа на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 = 2(x-2)(x+2) - 56$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 = 2(x^2 - 4) - 56$

$x^2 = 2x^2 - 8 - 56$

$x^2 = 2x^2 - 64$

Перенесём все члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2x^2 - x^2 = 64$

$x^2 = 64$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{64} = 8$

$x_2 = -\sqrt{64} = -8$

Теперь вернёмся к условиям задачи. Мы ищем натуральные чётные числа.Корень $x_2 = -8$ не подходит, так как в этом случае числа $(-10, -8, -6)$ не являются натуральными.Корень $x_1 = 8$ подходит, так как это чётное число и оно больше 2.

Найдём искомые числа, подставив значение $x = 8$:

• Первое число: $x - 2 = 8 - 2 = 6$
• Второе число: $x = 8$
• Третье число: $x + 2 = 8 + 2 = 10$

Получили три последовательных чётных натуральных числа: 6, 8, 10.Проверим, выполняется ли условие задачи для этих чисел.Квадрат второго числа: $8^2 = 64$.Удвоенное произведение первого и третьего: $2 \cdot (6 \cdot 10) = 2 \cdot 60 = 120$.Разница между ними: $120 - 64 = 56$.Условие "квадрат второго из них на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел" выполняется.

Ответ: 6, 8, 10.