Номер 128, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Решите уравнение:

1) $2x^2 - 4\sqrt{2}x + 3 = 0$;

2) $x^2 - x(\sqrt{7} - 2) - 2\sqrt{7} = 0$.

1) $2x^2 - 4\sqrt{2}x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=-4\sqrt{2}$, $c=3$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 \cdot 2 - 24 = 32 - 24 = 8$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$x_1 = \frac{-(-4\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-(-4\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $x^2 - x(\sqrt{7}-2) - 2\sqrt{7} = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Раскроем скобки, чтобы определить коэффициенты: $x^2 - \sqrt{7}x + 2x - 2\sqrt{7} = 0$.
Сгруппируем слагаемые при $x$: $x^2 + (2-\sqrt{7})x - 2\sqrt{7} = 0$.
Здесь $a=1$, $b=2-\sqrt{7}$, $c=-2\sqrt{7}$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (2-\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2\sqrt{7}) = (4 - 4\sqrt{7} + 7) + 8\sqrt{7} = 11 - 4\sqrt{7} + 8\sqrt{7} = 11 + 4\sqrt{7}$

Чтобы найти $\sqrt{D}$, попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
$11 + 4\sqrt{7} = 11 + 2 \cdot 2\sqrt{7}$. Пусть $m=2$ и $n=\sqrt{7}$. Тогда $m^2+n^2 = 2^2 + (\sqrt{7})^2 = 4 + 7 = 11$.
Следовательно, $11 + 4\sqrt{7} = (2+\sqrt{7})^2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{(2+\sqrt{7})^2} = 2+\sqrt{7}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(2-\sqrt{7}) + (2+\sqrt{7})}{2 \cdot 1} = \frac{-2+\sqrt{7} + 2+\sqrt{7}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$x_2 = \frac{-(2-\sqrt{7}) - (2+\sqrt{7})}{2 \cdot 1} = \frac{-2+\sqrt{7} - 2-\sqrt{7}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = \sqrt{7}, x_2 = -2$.