Номер 58, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{m^{-2} - 5}{m^{-8}} - \frac{m^{-4} - 25}{m^{-8}} \cdot \frac{1}{m^{-2} - 5};$

2) $\left(\frac{5a^{-6}}{a^{-12} - 14a^{-6} + 49} - \frac{a^{-6}}{a^{-6} - 7}\right) \cdot \frac{49 - a^{-12}}{12 - a^{-6}} + \frac{14a^{-6}}{a^{-6} - 7}.$

1)

Исходное выражение:

$$ \frac{m^{-2} - 5}{m^{-8}} - \frac{m^{-4} - 25}{m^{-8}} \cdot \frac{1}{m^{-2} - 5} $$

Поскольку во втором слагаемом есть умножение, сначала выполним его. Заметим, что числитель $m^{-4} - 25$ можно разложить на множители как разность квадратов: $m^{-4} - 25 = (m^{-2})^2 - 5^2 = (m^{-2} - 5)(m^{-2} + 5)$.

$$ \frac{m^{-2} - 5}{m^{-8}} - \frac{(m^{-2} - 5)(m^{-2} + 5)}{m^{-8}} \cdot \frac{1}{m^{-2} - 5} $$

Сократим множитель $(m^{-2} - 5)$ во втором слагаемом (при условии, что $m^{-2} - 5 \neq 0$):

$$ \frac{m^{-2} - 5}{m^{-8}} - \frac{\cancel{(m^{-2} - 5)}(m^{-2} + 5)}{m^{-8}} \cdot \frac{1}{\cancel{m^{-2} - 5}} = \frac{m^{-2} - 5}{m^{-8}} - \frac{m^{-2} + 5}{m^{-8}} $$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель $m^{-8}$, выполним вычитание:

$$ \frac{(m^{-2} - 5) - (m^{-2} + 5)}{m^{-8}} = \frac{m^{-2} - 5 - m^{-2} - 5}{m^{-8}} = \frac{-10}{m^{-8}} $$

Чтобы избавиться от отрицательного показателя в знаменателе, воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, из которого следует, что $\frac{1}{m^{-8}} = m^8$:

$$ -10 \cdot m^8 = -10m^8 $$

Ответ: $-10m^8$

2)

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{5a^{-6}}{a^{-12} - 14a^{-6} + 49} - \frac{a^{-6}}{a^{-6} - 7} \right) : \frac{49 - a^{-12}}{12 - a^{-6}} + \frac{14a^{-6}}{a^{-6} - 7} $$

Примечание: В данном виде задача приводит к очень громоздкому результату, что нетипично для заданий такого типа. Весьма вероятно, что в условии допущена опечатка, и знак деления (:) следует понимать как знак умножения (·). Ниже приведено решение в предположении, что это действительно так.

Скорректированное выражение:

$$ \left( \frac{5a^{-6}}{a^{-12} - 14a^{-6} + 49} - \frac{a^{-6}}{a^{-6} - 7} \right) \cdot \frac{49 - a^{-12}}{12 - a^{-6}} + \frac{14a^{-6}}{a^{-6} - 7} $$

Для упрощения вычислений введем замену: пусть $x = a^{-6}$. Тогда $a^{-12} = (a^{-6})^2 = x^2$. Выражение примет вид:

$$ \left( \frac{5x}{x^2 - 14x + 49} - \frac{x}{x - 7} \right) \cdot \frac{49 - x^2}{12 - x} + \frac{14x}{x - 7} $$

1. Упростим выражение в скобках. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{5x}{(x-7)^2} - \frac{x(x-7)}{(x-7)^2} = \frac{5x - x^2 + 7x}{(x-7)^2} = \frac{12x - x^2}{(x-7)^2} = \frac{x(12-x)}{(x-7)^2} $$

2. Теперь выполним умножение в соответствии с порядком действий:

$$ \frac{x(12-x)}{(x-7)^2} \cdot \frac{49 - x^2}{12 - x} $$

Разложим $49 - x^2$ на множители по формуле разности квадратов: $49 - x^2 = (7-x)(7+x)$.

$$ \frac{x(12-x)}{(x-7)^2} \cdot \frac{(7-x)(7+x)}{12 - x} $$

Сократим $(12-x)$. Также учтем, что $7-x = -(x-7)$.

$$ \frac{x}{(x-7)^2} \cdot (-(x-7))(x+7) = \frac{-x\cancel{(x-7)}(x+7)}{(x-7)^{\cancel{2}}} = \frac{-x(x+7)}{x-7} $$

3. Выполним сложение с последним слагаемым:

$$ \frac{-x(x+7)}{x-7} + \frac{14x}{x-7} = \frac{-(x^2+7x)+14x}{x-7} = \frac{-x^2-7x+14x}{x-7} = \frac{-x^2+7x}{x-7} $$

Вынесем за скобки $-x$ в числителе и сократим дробь:

$$ \frac{-x(x-7)}{x-7} = -x $$

4. Вернемся к исходной переменной. Так как $x = a^{-6}$, получаем:

$$ -a^{-6} $$

Запишем результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

$$ -a^{-6} = -\frac{1}{a^6} $$

Ответ: $-\frac{1}{a^6}$