Номер 63, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{2}{x}$ и $y = x - 1$ и определите координаты точек их пересечения.

Для решения задачи необходимо построить графики функций в одной системе координат и найти их точки пересечения. Решение состоит из двух частей: построение графиков и аналитическое нахождение координат точек пересечения.

Построение графиков функций

1. График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика. Для построения составим таблицу с несколькими точками:

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек:

• При $x=0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• При $x=3$, $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.

После нанесения точек на координатную плоскость и соединения их, мы получаем графики обеих функций.

Определение координат точек пересечения

Точки пересечения являются общими точками для обоих графиков, поэтому их координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти эти координаты, приравняем правые части уравнений функций: $$ \frac{2}{x} = x - 1 $$

Это уравнение можно решить, умножив обе части на $x$, при условии, что $x \neq 0$ (что соответствует области определения функции $y = \frac{2}{x}$): $$ 2 = x(x - 1) $$ $$ 2 = x^2 - x $$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна $1$, а произведение равно $-2$. Эти числа — $2$ и $-1$. $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 $$

Это абсциссы точек пересечения. Теперь найдем ординаты, подставив значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать $y = x - 1$:

• Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2 - 1 = 1$. Координаты первой точки пересечения — $(2, 1)$.
• Для $x_2 = -1$: $y_2 = -1 - 1 = -2$. Координаты второй точки пересечения — $(-1, -2)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков функций: $(2, 1)$ и $(-1, -2)$.