Номер 68, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = 3x - 2;$

2) $x^2 + x + 2 = 0.$

1) $x^2 = 3x - 2$

Чтобы решить уравнение графически, необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) их точек пересечения.

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 3x - 2$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола. Ее вершина находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх. Построим ее по точкам:
- если $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$;
- если $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$;
- если $x = 0$, $y = 0^2 = 0$;
- если $x = 1$, $y = 1^2 = 1$;
- если $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.

2. График функции $y = 3x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:
- если $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$;
- если $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.

Построим оба графика в одной системе координат. Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами (1, 1) и (2, 4).

Абсциссы этих точек являются корнями исходного уравнения.
$x_1 = 1$
$x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$

Для графического решения представим уравнение в виде, удобном для построения графиков. Перенесем члены $x$ и $2$ в правую часть уравнения:
$x^2 = -x - 2$

Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = -x - 2$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке (0, 0). Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

2. График функции $y = -x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:
- если $x = 0$, $y = -0 - 2 = -2$;
- если $x = -2$, $y = -(-2) - 2 = 0$.

Построим оба графика в одной системе координат. Парабола $y=x^2$ и прямая $y=-x-2$ не имеют общих точек, то есть их графики не пересекаются.

Так как точки пересечения отсутствуют, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Альтернативный способ: Можно построить график функции $y = x^2 + x + 2$ и найти его точки пересечения с осью абсцисс ($y=0$). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты ее вершины:
$x_v = -b/(2a) = -1/(2 \cdot 1) = -0.5$
$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) + 2 = 0.25 - 0.5 + 2 = 1.75$
Вершина параболы находится в точке (-0.5, 1.75). Поскольку самая низкая точка параболы ($y=1.75$) расположена выше оси Ox, график не пересекает эту ось. Следовательно, уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет решений.

Ответ: нет действительных корней.