Номер 75, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 75, страница 72.

Условие.

75. Решите уравнение:

1) $x^2 = 16;$

2) $x^2 = 15;$

3) $(x + 4)^2 = 0;$

4) $x^2 = -1;$

5) $(x + 6)^2 = 49;$

6) $(x - 5)^2 = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^2 = 16$

Чтобы решить это уравнение, необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное.

$x = \pm\sqrt{16}$

Поскольку $\sqrt{16} = 4$, получаем два корня:

$x_1 = 4$

$x_2 = -4$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

2) $x^2 = 15$

Аналогично предыдущему пункту, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x = \pm\sqrt{15}$

Число 15 не является полным квадратом целого числа, поэтому корень $\sqrt{15}$ является иррациональным числом. Решения так и записываются.

$x_1 = \sqrt{15}$

$x_2 = -\sqrt{15}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{15}, x_2 = -\sqrt{15}$.

3) $(x + 4)^2 = 0$

Квадрат некоторого выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само это выражение равно нулю.

$x + 4 = 0$

Чтобы найти $x$, перенесем 4 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$x = -4$

Данное уравнение имеет один корень.

Ответ: $x = -4$.

4) $x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-1$).

Поскольку $x^2 \ge 0$, а $-1 < 0$, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.

5) $(x + 6)^2 = 49$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x + 6 = \pm\sqrt{49}$

$x + 6 = \pm7$

Это уравнение распадается на два отдельных линейных уравнения:

Первый случай:

$x + 6 = 7$

$x_1 = 7 - 6$

$x_1 = 1$

Второй случай:

$x + 6 = -7$

$x_2 = -7 - 6$

$x_2 = -13$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -13$.

6) $(x - 5)^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x - 5 = \pm\sqrt{3}$

Теперь перенесем $-5$ в правую часть с противоположным знаком, чтобы выразить $x$.

$x = 5 \pm\sqrt{3}$

Уравнение имеет два иррациональных корня:

$x_1 = 5 + \sqrt{3}$

$x_2 = 5 - \sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = 5 + \sqrt{3}, x_2 = 5 - \sqrt{3}$.