Номер 78, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = a-3;$

2) $(a-3)\sqrt{x} = 0;$

3) $\sqrt{a(x-3)} = 0;$

4) $(a-3)\sqrt{x} = a-3.$

1) Данное уравнение $\sqrt{x} = a - 3$ является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \ge 0$.
Кроме того, по определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $a - 3 \ge 0$, что равносильно $a \ge 3$.
Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$:
1. Если $a < 3$, то правая часть уравнения $a-3$ отрицательна. Так как левая часть $\sqrt{x}$ не может быть отрицательной, уравнение не имеет решений.
2. Если $a \ge 3$, то обе части уравнения неотрицательны. В этом случае можно возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x})^2 = (a-3)^2$
$x = (a-3)^2$.
Полученное значение $x$ всегда неотрицательно, поэтому оно удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: если $a < 3$, то корней нет; если $a \ge 3$, то $x = (a-3)^2$.

2) В уравнении $(a - 3)\sqrt{x} = 0$ произведение двух множителей равно нулю. Это возможно только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если первый множитель равен нулю: $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство является верным для любого значения $x$ из области допустимых значений. Следовательно, при $a=3$ решением является любое число $x \ge 0$.
2. Если первый множитель не равен нулю: $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$. В этом случае для равенства произведения нулю необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt{x} = 0$. Возведя в квадрат обе части, получаем $x = 0$.
Ответ: если $a = 3$, то $x \ge 0$; если $a \neq 3$, то $x = 0$.

3) Уравнение $\sqrt{a(x-3)} = 0$ равносильно системе, состоящей из уравнения $a(x-3) = 0$ и условия существования корня $a(x-3) \ge 0$. Однако, так как правая часть равна нулю, условие существования корня выполняется автоматически.
Решим уравнение $a(x-3) = 0$. Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot (x-3) = 0$, или $0=0$. Исходное уравнение при этом выглядит как $\sqrt{0}=0$, что является верным равенством. Так как переменная $x$ исчезает из уравнения, его решением является любое действительное число $x$.
2. Если $a \neq 0$. Из уравнения $a(x-3)=0$ следует, что множитель $(x-3)$ должен быть равен нулю: $x-3=0$, откуда получаем единственный корень $x=3$.
Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \neq 0$, то $x = 3$.

4) Для решения уравнения $(a - 3)\sqrt{x} = a - 3$ с параметром $a$ необходимо рассмотреть случаи, когда коэффициент при $\sqrt{x}$ равен нулю и когда не равен. ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.
1. Если $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$. Подставим это значение в исходное уравнение:
$0 \cdot \sqrt{x} = 0$
$0 = 0$.
Это верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$ из ОДЗ. Таким образом, при $a=3$ решением является любое неотрицательное число $x \ge 0$.
2. Если $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$. Мы можем разделить обе части уравнения на ненулевое выражение $a-3$:
$\sqrt{x} = \frac{a-3}{a-3}$
$\sqrt{x} = 1$.
Возведя обе части в квадрат, находим $x=1^2$, то есть $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).
Ответ: если $a = 3$, то $x \ge 0$; если $a \neq 3$, то $x = 1$.