Номер 74, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 3;$

2) $\sqrt{x} = \frac{2}{9};$

3) $\sqrt{x} - 6 = 0;$

4) $4\sqrt{x} - 7 = 0;$

5) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 2 = 0;$

6) $\sqrt{10x - 9} = 0;$

7) $\sqrt{10x - 9} = 0;$

8) $\sqrt{10x - 9} = 4;$

9) $\frac{32}{\sqrt{x}} = 4;$

10) $\frac{30}{\sqrt{x - 7}} = 6;$

11) $\sqrt{10 + \sqrt{4 + \sqrt{x}}} = 4;$

12) $(x - 4)\sqrt{x^2 - 25} = 0.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ge 0$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$
Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).
Ответ: 9

2) Дано уравнение $\sqrt{x} = \frac{2}{9}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{2}{9})^2$
$x = \frac{4}{81}$
Корень $x = \frac{4}{81}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{81}$

3) Дано уравнение $\sqrt{x} - 6 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перенесем 6 в правую часть:
$\sqrt{x} = 6$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 6^2$
$x = 36$
Корень $x = 36$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 36

4) Дано уравнение $4\sqrt{x} - 7 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сначала изолируем радикал:
$4\sqrt{x} = 7$
$\sqrt{x} = \frac{7}{4}$
Возведем обе части в квадрат:
$x = (\frac{7}{4})^2$
$x = \frac{49}{16}$
Корень $x = \frac{49}{16}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{49}{16}$

5) Дано уравнение $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 2 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Изолируем радикал:
$\frac{1}{4}\sqrt{x} = -2$
$\sqrt{x} = -8$
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом ($\sqrt{x} \ge 0$). Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней

6) Дано уравнение $\sqrt{10x} - 9 = 0$.
ОДЗ: $10x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Изолируем радикал:
$\sqrt{10x} = 9$
Возведем обе части в квадрат:
$10x = 9^2$
$10x = 81$
$x = \frac{81}{10} = 8.1$
Корень $x = 8.1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 8,1

7) Дано уравнение $\sqrt{10x - 9} = 0$.
ОДЗ: $10x - 9 \ge 0 \Rightarrow 10x \ge 9 \Rightarrow x \ge 0.9$.
Возведем обе части в квадрат:
$10x - 9 = 0^2$
$10x = 9$
$x = \frac{9}{10} = 0.9$
Корень $x = 0.9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0,9

8) Дано уравнение $\sqrt{10x - 9} = 4$.
ОДЗ: $10x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.9$.
Возведем обе части в квадрат:
$10x - 9 = 4^2$
$10x - 9 = 16$
$10x = 25$
$x = \frac{25}{10} = 2.5$
Корень $x = 2.5$ удовлетворяет ОДЗ ($2.5 \ge 0.9$).
Ответ: 2,5

9) Дано уравнение $\frac{32}{\sqrt{x}} = 4$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как находится в знаменателе: $x > 0$.
Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{32}{4}$
$\sqrt{x} = 8$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 8^2$
$x = 64$
Корень $x = 64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).
Ответ: 64

10) Дано уравнение $\frac{30}{\sqrt{x-7}} = 6$.
ОДЗ: $x - 7 > 0 \Rightarrow x > 7$.
Выразим $\sqrt{x-7}$:
$\sqrt{x-7} = \frac{30}{6}$
$\sqrt{x-7} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 7 = 5^2$
$x - 7 = 25$
$x = 32$
Корень $x = 32$ удовлетворяет ОДЗ ($32 > 7$).
Ответ: 32

11) Дано уравнение $\sqrt{10 + \sqrt{4 + \sqrt{x}}} = 4$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$10 + \sqrt{4 + \sqrt{x}} = 4^2 = 16$
Изолируем следующий радикал:
$\sqrt{4 + \sqrt{x}} = 16 - 10 = 6$
Снова возведем в квадрат:
$4 + \sqrt{x} = 6^2 = 36$
Изолируем последний радикал:
$\sqrt{x} = 36 - 4 = 32$
И еще раз возведем в квадрат:
$x = 32^2 = 1024$
Корень $x = 1024$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1024

12) Дано уравнение $(x - 4)\sqrt{x^2 - 25} = 0$.
ОДЗ: $x^2 - 25 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 25$. Это неравенство выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $4$ не меньше $-5$ и не больше $5$. Следовательно, $x=4$ - посторонний корень.
2) $\sqrt{x^2 - 25} = 0 \Rightarrow x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25$. Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Оба корня, $x = 5$ и $x = -5$, входят в ОДЗ.
Ответ: -5; 5