Номер 69, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Дана функция $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le -2 \\ x + 6, \text{ если } x > -2 \end{cases}$

1) Найдите $f(-5), f(-2), f(-1)$.

2) Постройте график данной функции.

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы найти значение функции в определенной точке, необходимо сначала определить, какому из двух интервалов, $x \le -2$ или $x > -2$, принадлежит значение аргумента $x$, а затем подставить это значение в соответствующую формулу.

• Найдем $f(-5)$
  Значение аргумента $x = -5$ удовлетворяет условию $x \le -2$, так как $-5$ меньше чем $-2$. Следовательно, мы используем первую формулу: $y = x^2$.
  $f(-5) = (-5)^2 = 25$.

• Найдем $f(-2)$
  Значение аргумента $x = -2$ удовлетворяет условию $x \le -2$ (неравенство нестрогое). Поэтому мы снова используем первую формулу: $y = x^2$.
  $f(-2) = (-2)^2 = 4$.

• Найдем $f(-1)$
  Значение аргумента $x = -1$ удовлетворяет условию $x > -2$, так как $-1$ больше чем $-2$. В этом случае мы используем вторую формулу: $y = x + 6$.
  $f(-1) = -1 + 6 = 5$.

Ответ: $f(-5) = 25, f(-2) = 4, f(-1) = 5$.

График данной функции состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках числовой оси.

Шаг 1. Построение графика $y = x^2$ для $x \le -2$.

Эта часть графика является левой ветвью стандартной параболы $y = x^2$, ограниченной точкой $x = -2$. Найдем координаты нескольких точек для построения этой части:

Конечная точка этой части графика, $(-2, 4)$, является закрашенной, так как неравенство $x \le -2$ включает знак равенства.

Шаг 2. Построение графика $y = x + 6$ для $x > -2$.

Эта часть графика является лучом — частью прямой линии $y = x + 6$. Для построения прямой достаточно двух точек. Мы найдем координаты начальной точки луча и еще одной любой точки.

• Начальная точка луча соответствует $x = -2$. Подставляем это значение в формулу: $y = -2 + 6 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$. Поскольку условие строгое ($x > -2$), эта точка будет "выколотой" (незакрашенной).
• Возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$: $y = 0 + 6 = 6$. Получаем точку $(0, 6)$.

Проводим луч через точку $(0, 6)$, начинающийся из "выколотой" точки $(-2, 4)$.

Шаг 3. Объединение графиков.

Теперь на одной координатной плоскости строим обе части. Первая часть (парабола) заканчивается в закрашенной точке $(-2, 4)$. Вторая часть (луч) начинается в выколотой точке $(-2, 4)$. Поскольку закрашенная точка "заполняет" выколотую, график функции в точке $x = -2$ является непрерывным.

Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы $y=x^2$ на промежутке $(-\infty, -2]$ и луч, являющийся частью прямой $y=x+6$, на промежутке $(-2, +\infty)$. Обе части графика соединяются в точке $(-2, 4)$.