Номер 65, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 65, страница 70.

Условие.

65. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ 3 - x, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -9 \\ \frac{9}{x}, & \text{если } -9 < x < -3 \\ 2x + 3, & \text{если } x \ge -3 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей: ветви гиперболы и луча.

Сначала построим график функции $y = -\frac{4}{x}$ на промежутке $x \le -1$. Это часть гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Для построения найдем несколько точек: при $x = -1$, $y = -\frac{4}{-1} = 4$, точка $(-1, 4)$ принадлежит графику (закрашенная); при $x = -2$, $y = -\frac{4}{-2} = 2$, точка $(-2, 2)$; при $x = -4$, $y = -\frac{4}{-4} = 1$, точка $(-4, 1)$.

Затем построим график функции $y = 3 - x$ на промежутке $x > -1$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как $x > -1$, точка на границе будет выколотой: при $x = -1$, $y = 3 - (-1) = 4$, получаем выколотую точку $(-1, 4)$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$, точка $(3, 0)$.

Теперь совместим графики на одной координатной плоскости. В точке $x = -1$ первая часть графика заканчивается закрашенной точкой $(-1, 4)$, а вторая часть начинается с выколотой точки $(-1, 4)$. Таким образом, в точке $x = -1$ разрыва нет, и график является непрерывной линией. Итоговый график состоит из ветви гиперболы $y = -4/x$, проходящей через точки $(-4, 1)$, $(-2, 2)$ и заканчивающейся в точке $(-1, 4)$, и луча, выходящего из точки $(-1, 4)$ и проходящего через точку $(3, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, состоящую из двух частей. Для $x \le -1$ это ветвь гиперболы $y = -4/x$, проходящая через точки $(-4, 1)$, $(-2, 2)$ и $(-1, 4)$. Для $x > -1$ это луч, являющийся частью прямой $y = 3 - x$, выходящий из точки $(-1, 4)$ и пересекающий ось Ox в точке $(3, 0)$.

2)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из трех частей: горизонтального луча, части гиперболы и еще одного луча.

1. Построим график функции $y = -1$ на промежутке $x \le -9$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(-9, -1)$ и идущий влево. Точка $(-9, -1)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое.

2. Построим график функции $y = \frac{9}{x}$ на промежутке $-9 < x < -3$. Это часть гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Найдем значения на концах промежутка (точки будут выколотыми, так как неравенства строгие). При $x \to -9$, $y \to \frac{9}{-9} = -1$, получаем граничную точку $(-9, -1)$. При $x \to -3$, $y \to \frac{9}{-3} = -3$, получаем граничную точку $(-3, -3)$. Таким образом, это дуга гиперболы между точками $(-9, -1)$ и $(-3, -3)$.

3. Построим график функции $y = 2x + 3$ на промежутке $x \ge -3$. Это линейная функция, её график — луч. Найдем начальную точку (она будет закрашенной, так как неравенство нестрогое): при $x = -3$, $y = 2(-3) + 3 = -3$, получаем начальную точку луча $(-3, -3)$. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$, $y = 2(0) + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$.

4. Совместим графики. В точке $x = -9$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-9, -1)$, а вторая начинается из этой же точки. В точке $x = -3$ вторая часть заканчивается выколотой точкой $(-3, -3)$, а третья начинается из закрашенной точки $(-3, -3)$. Следовательно, график функции является непрерывной линией без разрывов. Итоговый график состоит из горизонтального луча $y=-1$ до точки $(-9, -1)$, затем дуги гиперболы $y=9/x$ от $(-9, -1)$ до $(-3, -3)$, и затем луча $y=2x+3$, начинающегося в точке $(-3, -3)$ и проходящего через $(0, 3)$.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию. Для $x \le -9$ это горизонтальный луч $y=-1$ с концом в точке $(-9, -1)$. На интервале $(-9, -3)$ это участок гиперболы $y = 9/x$, соединяющий точки $(-9, -1)$ и $(-3, -3)$. Для $x \ge -3$ это луч $y = 2x+3$, выходящий из точки $(-3, -3)$ и проходящий через точку $(0, 3)$.