Номер 77, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 77, страница 72.

Условие.

77. При каких значениях $a$ уравнение $(a-4)x^2 = 5$:

1) имеет корни;

2) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ данное уравнение $(a-4)x^2 = 5$ имеет или не имеет корни, необходимо проанализировать коэффициент при $x^2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, если $a-4=0$, то есть при $a=4$. Подставим это значение в уравнение:

$(4-4)x^2 = 5$

$0 \cdot x^2 = 5$

$0 = 5$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении $x$ уравнение не будет верным. Следовательно, при $a=4$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит, если $a-4 \neq 0$, то есть $a \neq 4$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a-4)$, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{5}{a-4}$

Дальнейшее наличие или отсутствие действительных корней зависит от знака выражения в правой части уравнения.

1) имеет корни;

Уравнение вида $x^2 = C$ имеет действительные корни, если $C \ge 0$. В нашем случае $C = \frac{5}{a-4}$.

Таким образом, для существования корней должно выполняться условие:

$\frac{5}{a-4} \ge 0$

Так как числитель дроби $5$ — положительное число, то и знаменатель должен быть положительным (он не может быть равен нулю).

$a-4 > 0$

$a > 4$

При выполнении этого условия уравнение будет иметь два корня: $x_1 = \sqrt{\frac{5}{a-4}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{5}{a-4}}$.

Ответ: $a > 4$.

2) не имеет корней?

Уравнение не имеет корней в двух ситуациях:

1. Когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Как мы установили в Случае 1, это происходит при $a=4$.

2. Когда правая часть в уравнении $x^2 = \frac{5}{a-4}$ является отрицательным числом, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

$\frac{5}{a-4} < 0$

Так как числитель $5$ положителен, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$a-4 < 0$

$a < 4$

Объединяя оба условия, при которых уравнение не имеет корней (случай $a=4$ и случай $a < 4$), мы получаем итоговое условие.

Ответ: $a \le 4$.