Номер 85, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) A — множество цифр числа 42 188, $B$ — множество цифр числа 72 294;

2) A — множество делителей числа 18, $B$ — множество делителей числа 42;

3) A — множество однозначных чисел, $B$ — множество чисел, кратных числу 5;

4) A — множество простых чисел, $B$ — множество составных чисел;

5) A — множество ромбов, $B$ — множество параллелограммов.

1) A — множество цифр числа 42 188, B — множество цифр числа 72 294; Сначала определим элементы множеств $A$ и $B$. Множество состоит из уникальных элементов. Множество $A$ — это множество уникальных цифр, из которых состоит число 42 188. Цифры этого числа: 4, 2, 1, 8, 8. Таким образом, множество $A$ будет выглядеть так: $A = \{1, 2, 4, 8\}$. Множество $B$ — это множество уникальных цифр, из которых состоит число 72 294. Цифры этого числа: 7, 2, 2, 9, 4. Таким образом, множество $B$ будет выглядеть так: $B = \{2, 4, 7, 9\}$. Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$ одновременно. Сравнивая элементы множеств $A$ и $B$, находим общие: 2 и 4. Следовательно, $A \cap B = \{2, 4\}$. Ответ: $\{2, 4\}$.

2) A — множество делителей числа 18, B — множество делителей числа 42; Найдем все натуральные делители числа 18. Делители — это числа, на которые 18 делится без остатка. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Таким образом, множество $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$. Теперь найдем все натуральные делители числа 42. Делители числа 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Таким образом, множество $B = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$. Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, общие для обоих множеств. Сравнивая множества $A$ и $B$, мы видим, что общими делителями являются числа 1, 2, 3 и 6. Следовательно, $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$. Ответ: $\{1, 2, 3, 6\}$.

3) A — множество однозначных чисел, B — множество чисел, кратных числу 5; Множество $A$ состоит из всех однозначных чисел. В математике к ним относят числа от 0 до 9. Итак, $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Множество $B$ состоит из чисел, которые делятся на 5 без остатка (кратны 5). Это бесконечное множество: $B = \{0, 5, 10, 15, 20, \dots\}$. Пересечение $A \cap B$ — это множество чисел, которые являются одновременно и однозначными, и кратными 5. Выберем из множества $A$ те числа, которые также принадлежат множеству $B$. Это числа 0 (поскольку $0 : 5 = 0$) и 5 (поскольку $5 : 5 = 1$). Остальные кратные 5 числа (10, 15 и т.д.) не являются однозначными. Таким образом, $A \cap B = \{0, 5\}$. Ответ: $\{0, 5\}$.

4) A — множество простых чисел, B — множество составных чисел; Множество $A$ — это множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\}$. Множество $B$ — это множество составных чисел. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей. $B = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots\}$. Пересечение $A \cap B$ — это множество чисел, которые являются одновременно и простыми, и составными. По определению, множество натуральных чисел (кроме 1) разделяется на два непересекающихся подмножества: простые числа и составные числа. Ни одно число не может быть одновременно простым и составным. Следовательно, их пересечение является пустым множеством. Таким образом, $A \cap B = \emptyset$. Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

5) A — множество ромбов, B — множество параллелограммов; Множество $A$ — это множество всех ромбов. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Множество $B$ — это множество всех параллелограммов. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Пересечение $A \cap B$ — это множество геометрических фигур, которые являются одновременно и ромбами, и параллелограммами. Рассмотрим свойства ромба. У ромба противолежащие стороны равны (поскольку все стороны равны), а из этого следует, что они параллельны. Таким образом, любой ромб удовлетворяет определению параллелограмма. Это означает, что множество всех ромбов является подмножеством множества всех параллелограммов, то есть $A \subset B$. Когда одно множество является подмножеством другого, их пересечение равно меньшему из этих множеств (подмножеству). Следовательно, $A \cap B = A$. Ответ: Множество ромбов.