Номер 90, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 90, страница 74.

Условие.

90. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{4 \cdot 49};$

2) $\sqrt{0,01 \cdot 64};$

3) $\sqrt{0,04 \cdot 0,81 \cdot 225};$

4) $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}};$

5) $\sqrt{2^{10} \cdot 7^2};$

6) $\sqrt{(-6)^6 \cdot 0,2^4 \cdot (-2)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{4 \cdot 49}$ воспользуемся свойством квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).

$\sqrt{4 \cdot 49} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{49}$

Так как $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{49} = 7$, то получаем:

$2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: $14$.

2) Аналогично предыдущему пункту, применим свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,01 \cdot 64} = \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{64}$.

Поскольку $\sqrt{0,01} = 0,1$ (так как $0,1^2 = 0,01$) и $\sqrt{64} = 8$, то:

$0,1 \cdot 8 = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

3) Используем то же свойство для произведения трех множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

$\sqrt{0,04 \cdot 0,81 \cdot 225} = \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{225}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$\sqrt{0,04} = 0,2$

$\sqrt{0,81} = 0,9$

$\sqrt{225} = 15$

Теперь перемножаем полученные значения:

$0,2 \cdot 0,9 \cdot 15 = 0,18 \cdot 15 = 2,7$.

Ответ: $2,7$.

4) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.

Теперь выражение под корнем имеет вид: $\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{9}{25}}$.

Используем свойства корня из произведения и корня из дроби: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{81}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{5}$.

Перемножаем дроби: $\frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{27}{20}$.

Для удобства переведем в десятичную дробь: $\frac{27}{20} = 1,35$.

Ответ: $1,35$.

5) Для извлечения корня из степеней воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ (для $a \ge 0$).

$\sqrt{2^{10} \cdot 7^2} = \sqrt{2^{10}} \cdot \sqrt{7^2}$.

Представим степени под корнем в виде квадратов: $\sqrt{(2^5)^2} \cdot \sqrt{7^2}$.

Извлекаем корни: $2^5 \cdot 7$.

Вычисляем значение: $2^5 = 32$.

Находим произведение: $32 \cdot 7 = 224$.

Ответ: $224$.

6) В этом выражении под корнем есть степени с отрицательными основаниями. Важно помнить, что четная степень отрицательного числа является положительным числом, то есть $(-a)^{2n} = a^{2n}$. Также используем основное свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{(-6)^6 \cdot 0,2^4 \cdot (-2)^2} = \sqrt{6^6 \cdot 0,2^4 \cdot 2^2}$.

Разложим корень на множители:

$\sqrt{6^6} \cdot \sqrt{0,2^4} \cdot \sqrt{2^2} = \sqrt{(6^3)^2} \cdot \sqrt{(0,2^2)^2} \cdot \sqrt{2^2}$.

Извлекая корни, получаем модули выражений:

$|6^3| \cdot |0,2^2| \cdot |2| = 6^3 \cdot 0,2^2 \cdot 2$.

Вычисляем значения степеней: $6^3 = 216$; $0,2^2 = 0,04$.

Находим конечное значение произведения: $216 \cdot 0,04 \cdot 2 = 8,64 \cdot 2 = 17,28$.

Ответ: $17,28$.