Номер 56, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Выполните вычисления и запишите результат в стандартном виде:

1) $(1,7 \cdot 10^{-5}) \cdot (7 \cdot 10^{8});$

2) $(3 \cdot 10^{-4}) \cdot (3,6 \cdot 10^{-6});$

3) $\frac{4,2 \cdot 10^{3}}{6 \cdot 10^{5}};$

4) $\frac{1,4 \cdot 10^{9}}{2,8 \cdot 10^{5}}.$

Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно их степени.
$(1,7 \cdot 10^{-5}) \cdot (7 \cdot 10^{8}) = (1,7 \cdot 7) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{8})$
Вычисляем произведение мантисс:
$1,7 \cdot 7 = 11,9$
Для умножения степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$10^{-5} \cdot 10^{8} = 10^{-5+8} = 10^3$
Объединяем результаты:
$11,9 \cdot 10^3$
Стандартный вид числа требует, чтобы мантисса была в диапазоне от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Число $11,9$ больше 10, поэтому преобразуем его: $11,9 = 1,19 \cdot 10^1$.
Подставим это значение в наше выражение:
$(1,19 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 1,19 \cdot 10^{1+3} = 1,19 \cdot 10^4$
Ответ: $1,19 \cdot 10^4$

Действуем по аналогии с первым примером.
$(3 \cdot 10^{-4}) \cdot (3,6 \cdot 10^{-6}) = (3 \cdot 3,6) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{-6})$
Вычисляем произведение мантисс:
$3 \cdot 3,6 = 10,8$
Вычисляем произведение степеней:
$10^{-4} \cdot 10^{-6} = 10^{-4 + (-6)} = 10^{-10}$
Объединяем результаты:
$10,8 \cdot 10^{-10}$
Приводим мантиссу к стандартному виду: $10,8 = 1,08 \cdot 10^1$.
Подставляем и вычисляем итоговый результат:
$(1,08 \cdot 10^1) \cdot 10^{-10} = 1,08 \cdot 10^{1 + (-10)} = 1,08 \cdot 10^{-9}$
Ответ: $1,08 \cdot 10^{-9}$

При делении чисел в стандартном виде необходимо отдельно разделить их мантиссы и отдельно — степени.
$\frac{4,2 \cdot 10^3}{6 \cdot 10^5} = \frac{4,2}{6} \cdot \frac{10^3}{10^5}$
Вычисляем частное мантисс:
$\frac{4,2}{6} = 0,7$
Для деления степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{10^3}{10^5} = 10^{3-5} = 10^{-2}$
Объединяем результаты:
$0,7 \cdot 10^{-2}$
Мантисса $0,7$ меньше 1. Приводим ее к стандартному виду: $0,7 = 7 \cdot 10^{-1}$.
Подставляем и получаем окончательный ответ:
$(7 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 7 \cdot 10^{-1 + (-2)} = 7 \cdot 10^{-3}$
Ответ: $7 \cdot 10^{-3}$

Выполняем деление аналогично предыдущему пункту.
$\frac{1,4 \cdot 10^9}{2,8 \cdot 10^5} = \frac{1,4}{2,8} \cdot \frac{10^9}{10^5}$
Вычисляем частное мантисс:
$\frac{1,4}{2,8} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 0,5$
Вычисляем частное степеней:
$\frac{10^9}{10^5} = 10^{9-5} = 10^4$
Объединяем результаты:
$0,5 \cdot 10^4$
Приводим мантиссу к стандартному виду: $0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$.
Подставляем и вычисляем:
$(5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^4 = 5 \cdot 10^{-1+4} = 5 \cdot 10^3$
Ответ: $5 \cdot 10^3$