Номер 53, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Найдите значение выражения:

1) $16^{-7} : 64^{-4};$

2) $\frac{(-49)^{-5} \cdot 7^{-4}}{343^{-8} \cdot (-7)^8};$

3) $\frac{15^7 \cdot 3^{-12}}{45^{-4} \cdot 5^{13}};$

4) $\frac{(0,1)^{-3} \cdot 100^{-5}}{1 000^{-2}}.$

1) $16^{-7} : 64^{-4}$

Представим числа 16 и 64 в виде степеней с одинаковым основанием, например, 2:

$16 = 2^4$

$64 = 2^6$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$16^{-7} : 64^{-4} = (2^4)^{-7} : (2^6)^{-4}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^4)^{-7} = 2^{4 \cdot (-7)} = 2^{-28}$

$(2^6)^{-4} = 2^{6 \cdot (-4)} = 2^{-24}$

Теперь выражение выглядит так:

$2^{-28} : 2^{-24}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):

$2^{-28 - (-24)} = 2^{-28 + 24} = 2^{-4}$

Вычислим полученное значение:

$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

2) $\frac{(-49)^{-5} \cdot 7^{-4}}{343^{-8} \cdot (-7)^8}$

Преобразуем все множители в выражении к степеням с основанием 7.

Учтем знаки: $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число, и $(-a)^n = -a^n$, если $n$ — нечетное число.

$(-49)^{-5} = -(49^{-5})$, так как степень -5 нечетная.

$(-7)^8 = 7^8$, так как степень 8 четная.

Представим числа 49 и 343 как степени 7:

$49 = 7^2$

$343 = 7^3$

Подставим все в исходное выражение:

$\frac{-(7^2)^{-5} \cdot 7^{-4}}{(7^3)^{-8} \cdot 7^8}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{-7^{2 \cdot (-5)} \cdot 7^{-4}}{7^{3 \cdot (-8)} \cdot 7^8} = \frac{-7^{-10} \cdot 7^{-4}}{7^{-24} \cdot 7^8}$

Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

В числителе: $-7^{-10} \cdot 7^{-4} = -7^{-10+(-4)} = -7^{-14}$

В знаменателе: $7^{-24} \cdot 7^8 = 7^{-24+8} = 7^{-16}$

Получим дробь:

$\frac{-7^{-14}}{7^{-16}}$

Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-7^{-14 - (-16)} = -7^{-14 + 16} = -7^2$

Вычислим результат:

$-7^2 = -49$

Ответ: $-49$.

3) $\frac{15^7 \cdot 3^{-12}}{45^{-4} \cdot 5^{13}}$

Разложим основания 15 и 45 на простые множители (3 и 5):

$15 = 3 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Подставим эти разложения в выражение:

$\frac{(3 \cdot 5)^7 \cdot 3^{-12}}{(3^2 \cdot 5)^{-4} \cdot 5^{13}}$

Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{3^7 \cdot 5^7 \cdot 3^{-12}}{(3^2)^{-4} \cdot 5^{-4} \cdot 5^{13}}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к знаменателю:

$\frac{3^7 \cdot 5^7 \cdot 3^{-12}}{3^{-8} \cdot 5^{-4} \cdot 5^{13}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

В числителе: $3^{7+(-12)} \cdot 5^7 = 3^{-5} \cdot 5^7$

В знаменателе: $3^{-8} \cdot 5^{-4+13} = 3^{-8} \cdot 5^9$

Получаем:

$\frac{3^{-5} \cdot 5^7}{3^{-8} \cdot 5^9}$

Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$3^{-5 - (-8)} \cdot 5^{7-9} = 3^{-5+8} \cdot 5^{-2} = 3^3 \cdot 5^{-2}$

Вычислим значение:

$3^3 \cdot \frac{1}{5^2} = 27 \cdot \frac{1}{25} = \frac{27}{25}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$\frac{27}{25} = \frac{27 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{108}{100} = 1,08$

Ответ: $\frac{27}{25}$.

4) $\frac{(0,1)^{-3} \cdot 100^{-5}}{1000^{-2}}$

Представим все числа в виде степеней с основанием 10:

$0,1 = 10^{-1}$

$100 = 10^2$

$1000 = 10^3$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(10^{-1})^{-3} \cdot (10^2)^{-5}}{(10^3)^{-2}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{10^{(-1) \cdot (-3)} \cdot 10^{2 \cdot (-5)}}{10^{3 \cdot (-2)}} = \frac{10^3 \cdot 10^{-10}}{10^{-6}}$

В числителе применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{10^{3+(-10)}}{10^{-6}} = \frac{10^{-7}}{10^{-6}}$

Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$10^{-7 - (-6)} = 10^{-7+6} = 10^{-1}$

Вычислим результат:

$10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$.