Номер 55, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 55, страница 68.

Условие.

55. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{19a^{-15}}{21c^{-4}} \cdot \frac{63c^6}{38a^{-21}}$

2) $-3,6b^{-9}c^8 \cdot (-6b^{-4}c^{-3})^{-2}$

3) $6\frac{1}{4}x^{-2}y^3 \cdot \left(2\frac{1}{2}x^{-3}y^2\right)^{-3}$

4) $(-100m^{-4}np^{10})^{-2} \cdot (0.1mp^{-7})^{-3}$

5) $\left(-\frac{1}{7}a^{-6}b^{-9}\right)^{-3} \cdot (-7a^5b^{11})^{-2}$

6) $\left(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}}\right)^{-4} \cdot (36x^{-2}y^7)^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выполним умножение дробей $\frac{19a^{-15}}{21c^{-4}} \cdot \frac{63c^6}{38a^{-21}}$.
Сначала перемножим числители и знаменатели: $\frac{19a^{-15} \cdot 63c^6}{21c^{-4} \cdot 38a^{-21}}$.
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями: $\frac{19 \cdot 63}{21 \cdot 38} \cdot \frac{a^{-15}}{a^{-21}} \cdot \frac{c^6}{c^{-4}}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{19 \cdot 63}{21 \cdot 38} = \frac{19}{38} \cdot \frac{63}{21} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Применим свойство частного степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ для переменных:
$\frac{a^{-15}}{a^{-21}} = a^{-15 - (-21)} = a^{-15+21} = a^6$.
$\frac{c^6}{c^{-4}} = c^{6 - (-4)} = c^{6+4} = c^{10}$.
Объединим полученные результаты: $\frac{3}{2}a^6c^{10}$.
Ответ: $\frac{3}{2}a^6c^{10}$.

2) Упростим выражение $-3,6b^{-9}c^8 \cdot (-6b^{-4}c^{-3})^{-2}$.
Сначала возведем второй множитель в степень $-2$, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $(-6b^{-4}c^{-3})^{-2} = (-6)^{-2} \cdot (b^{-4})^{-2} \cdot (c^{-3})^{-2}$.
Используем свойства $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} = \frac{1}{36}$.
$(b^{-4})^{-2} = b^{(-4) \cdot (-2)} = b^8$.
$(c^{-3})^{-2} = c^{(-3) \cdot (-2)} = c^6$.
Таким образом, второй множитель равен $\frac{1}{36}b^8c^6$.
Теперь умножим это на первый множитель: $-3,6b^{-9}c^8 \cdot \frac{1}{36}b^8c^6 = (-\frac{3,6}{36}) \cdot (b^{-9}b^8) \cdot (c^8c^6)$.
Упростим коэффициент: $-\frac{3,6}{36} = -0,1 = -\frac{1}{10}$.
Упростим переменные, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^{-9}b^8 = b^{-9+8} = b^{-1}$.
$c^8c^6 = c^{8+6} = c^{14}$.
Результат: $-\frac{1}{10}b^{-1}c^{14}$.
Приведем выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем: $b^{-1} = \frac{1}{b}$.
Окончательный вид: $-\frac{c^{14}}{10b}$.
Ответ: $-\frac{c^{14}}{10b}$.

3) Упростим выражение $6\frac{1}{4}x^{-2}y^3 \cdot (2\frac{1}{2}x^{-3}y^2)^{-3}$.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$ и $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Выражение примет вид: $\frac{25}{4}x^{-2}y^3 \cdot (\frac{5}{2}x^{-3}y^2)^{-3}$.
Возведем второй множитель в степень $-3$: $(\frac{5}{2}x^{-3}y^2)^{-3} = (\frac{5}{2})^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^2)^{-3} = (\frac{2}{5})^3 \cdot x^{9} \cdot y^{-6} = \frac{8}{125}x^9y^{-6}$.
Теперь перемножим оба множителя: $\frac{25}{4}x^{-2}y^3 \cdot \frac{8}{125}x^9y^{-6} = (\frac{25}{4} \cdot \frac{8}{125}) \cdot (x^{-2}x^9) \cdot (y^3y^{-6})$.
Упростим коэффициент: $\frac{25 \cdot 8}{4 \cdot 125} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$.
Упростим переменные: $x^{-2+9} = x^7$ и $y^{3-6} = y^{-3}$.
Результат: $\frac{2}{5}x^7y^{-3}$.
Избавимся от отрицательной степени: $y^{-3} = \frac{1}{y^3}$.
Окончательный вид: $\frac{2x^7}{5y^3}$.
Ответ: $\frac{2x^7}{5y^3}$.

4) Упростим выражение $(-100m^{-4}np^{10})^{-2} \cdot (0,1mp^{-7})^{-3}$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(-100m^{-4}np^{10})^{-2} = (-100)^{-2} \cdot (m^{-4})^{-2} \cdot n^{-2} \cdot (p^{10})^{-2} = \frac{1}{10000}m^8n^{-2}p^{-20}$.
Второй множитель, представив $0,1$ как $\frac{1}{10}$: $(0,1mp^{-7})^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} \cdot m^{-3} \cdot (p^{-7})^{-3} = 10^3m^{-3}p^{21} = 1000m^{-3}p^{21}$.
Перемножим полученные выражения: $(\frac{1}{10000}m^8n^{-2}p^{-20}) \cdot (1000m^{-3}p^{21})$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(\frac{1000}{10000}) \cdot (m^8m^{-3}) \cdot n^{-2} \cdot (p^{-20}p^{21})$.
Упростим каждую группу: $\frac{1000}{10000} = \frac{1}{10}$.
$m^{8-3} = m^5$.
$p^{-20+21} = p^1 = p$.
Результат: $\frac{1}{10}m^5n^{-2}p$.
Избавимся от отрицательной степени: $n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.
Окончательный вид: $\frac{m^5p}{10n^2}$.
Ответ: $\frac{m^5p}{10n^2}$.

5) Упростим выражение $(-\frac{1}{7}a^{-6}b^{-9})^{-3} \cdot (-7a^5b^{11})^{-2}$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(-\frac{1}{7}a^{-6}b^{-9})^{-3} = (-\frac{1}{7})^{-3} \cdot (a^{-6})^{-3} \cdot (b^{-9})^{-3} = (-7)^3 \cdot a^{18} \cdot b^{27} = -343a^{18}b^{27}$.
Второй множитель: $(-7a^5b^{11})^{-2} = (-7)^{-2} \cdot (a^5)^{-2} \cdot (b^{11})^{-2} = \frac{1}{(-7)^2}a^{-10}b^{-22} = \frac{1}{49}a^{-10}b^{-22}$.
Перемножим полученные выражения: $(-343a^{18}b^{27}) \cdot (\frac{1}{49}a^{-10}b^{-22})$.
Сгруппируем: $(-\frac{343}{49}) \cdot (a^{18}a^{-10}) \cdot (b^{27}b^{-22})$.
Упростим каждую группу: $-\frac{343}{49} = -7$.
$a^{18-10} = a^8$.
$b^{27-22} = b^5$.
Результат: $-7a^8b^5$. Выражение не содержит степеней с отрицательным показателем.
Ответ: $-7a^8b^5$.

6) Упростим выражение $(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}})^{-4} \cdot (36x^{-2}y^7)^3$.
Упростим первый множитель, используя $\frac{1}{y^{-8}} = y^8$: $(\frac{6x^{-1}}{y^{-8}})^{-4} = (6x^{-1}y^8)^{-4}$.
Возведем в степень $-4$: $6^{-4} \cdot (x^{-1})^{-4} \cdot (y^8)^{-4} = 6^{-4}x^4y^{-32}$.
Упростим второй множитель: $(36x^{-2}y^7)^3 = 36^3 \cdot (x^{-2})^3 \cdot (y^7)^3 = (6^2)^3 \cdot x^{-6} \cdot y^{21} = 6^6x^{-6}y^{21}$.
Перемножим полученные выражения: $(6^{-4}x^4y^{-32}) \cdot (6^6x^{-6}y^{21})$.
Сгруппируем: $(6^{-4} \cdot 6^6) \cdot (x^4x^{-6}) \cdot (y^{-32}y^{21})$.
Упростим каждую группу: $6^{-4+6} = 6^2 = 36$.
$x^{4-6} = x^{-2}$.
$y^{-32+21} = y^{-11}$.
Результат: $36x^{-2}y^{-11}$.
Избавимся от отрицательных степеней: $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ и $y^{-11} = \frac{1}{y^{11}}$.
Окончательный вид: $\frac{36}{x^2y^{11}}$.
Ответ: $\frac{36}{x^2y^{11}}$.