Номер 102, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 102, страница 76.

Условие.

102. Упростите выражение:

1) $(4\sqrt{7} + 7\sqrt{12} - 2\sqrt{192}) \cdot \sqrt{3} - \sqrt{84};$

2) $(2\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{15} + 2\sqrt{5}) - (\sqrt{10} - 5\sqrt{2})^2;$

3) $(8 - \sqrt{6})^2 + (5 + \sqrt{6})^2;$

4) $(\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $(4\sqrt{7} + 7\sqrt{12} - 2\sqrt{192}) \cdot \sqrt{3} - \sqrt{84}$ сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(4\sqrt{7} + 7(2\sqrt{3}) - 2(8\sqrt{3})) \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{21} = (4\sqrt{7} + 14\sqrt{3} - 16\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{21}$

Выполним действие в скобках:

$(4\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{21}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt{3}$:

$4\sqrt{7} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{21} = 4\sqrt{21} - 2 \cdot 3 - 2\sqrt{21}$

Приведем подобные слагаемые:

$4\sqrt{21} - 6 - 2\sqrt{21} = (4\sqrt{21} - 2\sqrt{21}) - 6 = 2\sqrt{21} - 6$

Ответ: $2\sqrt{21} - 6$

2) Рассмотрим выражение $(2\sqrt{5} - \sqrt{15})(\sqrt{15} + 2\sqrt{5}) - (\sqrt{10} - 5\sqrt{2})^2$.

Первая часть выражения $(2\sqrt{5} - \sqrt{15})(2\sqrt{5} + \sqrt{15})$ представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = 2\sqrt{5}$ и $b = \sqrt{15}$.

$(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 5 - 15 = 20 - 15 = 5$

Вторая часть выражения - это квадрат разности $(\sqrt{10} - 5\sqrt{2})^2$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})^2 = 10 - 10\sqrt{20} + 25 \cdot 2$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$10 - 10(2\sqrt{5}) + 50 = 10 - 20\sqrt{5} + 50 = 60 - 20\sqrt{5}$

Теперь объединим обе части:

$5 - (60 - 20\sqrt{5}) = 5 - 60 + 20\sqrt{5} = 20\sqrt{5} - 55$

Ответ: $20\sqrt{5} - 55$

3) Упростим выражение $(8 - \sqrt{6})^2 + (5 + \sqrt{6})^2$.

Раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(8 - \sqrt{6})^2 = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 64 - 16\sqrt{6} + 6 = 70 - 16\sqrt{6}$

$(5 + \sqrt{6})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 25 + 10\sqrt{6} + 6 = 31 + 10\sqrt{6}$

Сложим полученные результаты:

$(70 - 16\sqrt{6}) + (31 + 10\sqrt{6}) = 70 + 31 - 16\sqrt{6} + 10\sqrt{6}$

Приведем подобные слагаемые:

$101 - 6\sqrt{6}$

Ответ: $101 - 6\sqrt{6}$

4) Рассмотрим выражение $(\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.

$a^2 = (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}})^2 = 8 + 2\sqrt{7}$

$b^2 = (\sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2 = 8 - 2\sqrt{7}$

$2ab = 2 \cdot \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} \cdot \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = 2 \cdot \sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$(8)^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Таким образом, $2ab = 2 \cdot \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$.

Сложим все части: $a^2 + b^2 + 2ab$.

$(8 + 2\sqrt{7}) + (8 - 2\sqrt{7}) + 12 = 8 + 8 + 12 = 28$

Ответ: $28$