Номер 103, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 17}{x + \sqrt{17}}$;

2) $\frac{\sqrt{y} - 10}{y - 100}$;

3) $\frac{c + 9\sqrt{c}}{c - 81}$;

4) $\frac{29 + \sqrt{29}}{\sqrt{29}}$;

5) $\frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{a - 25}$;

6) $\frac{6 - \sqrt{12}}{\sqrt{12} - 2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 17}{x + \sqrt{17}}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим $17$ как $(\sqrt{17})^2$. Тогда числитель примет вид $x^2 - (\sqrt{17})^2 = (x - \sqrt{17})(x + \sqrt{17})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(x - \sqrt{17})(x + \sqrt{17})}{x + \sqrt{17}}$

Сократим одинаковые множители $(x + \sqrt{17})$ в числителе и знаменателе. Получим:

$x - \sqrt{17}$

Ответ: $x - \sqrt{17}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{y} - 10}{y - 100}$. Для ее сокращения разложим на множители знаменатель.

Знаменатель $y - 100$ является разностью квадратов, так как $y = (\sqrt{y})^2$ и $100 = 10^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y - 100 = (\sqrt{y})^2 - 10^2 = (\sqrt{y} - 10)(\sqrt{y} + 10)$.

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{\sqrt{y} - 10}{(\sqrt{y} - 10)(\sqrt{y} + 10)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{y} - 10)$:

$\frac{1}{\sqrt{y} + 10}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y} + 10}$.

3) Сократим дробь $\frac{c + 9\sqrt{c}}{c - 81}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{c}$: $c + 9\sqrt{c} = (\sqrt{c})^2 + 9\sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c} + 9)$.

Знаменатель $c - 81$ разложим как разность квадратов: $c - 81 = (\sqrt{c})^2 - 9^2 = (\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} + 9)}{(\sqrt{c} - 9)(\sqrt{c} + 9)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{c} + 9)$:

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} - 9}$

Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c} - 9}$.

4) Сократим дробь $\frac{29 + \sqrt{29}}{\sqrt{29}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{29}$, представив $29$ как $(\sqrt{29})^2$:

$29 + \sqrt{29} = (\sqrt{29})^2 + \sqrt{29} = \sqrt{29}(\sqrt{29} + 1)$.

Дробь примет вид:

$\frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} + 1)}{\sqrt{29}}$

Сократим $\sqrt{29}$ в числителе и знаменателе:

$\sqrt{29} + 1$

Ответ: $\sqrt{29} + 1$.

5) Сократим дробь $\frac{a - 10\sqrt{a} + 25}{a - 25}$.

Числитель $a - 10\sqrt{a} + 25$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 5$, получаем:

$a - 10\sqrt{a} + 25 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{a} - 5)^2$.

Знаменатель $a - 25$ разложим как разность квадратов: $a - 25 = (\sqrt{a})^2 - 5^2 = (\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)$.

Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(\sqrt{a} - 5)^2}{(\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 5)$:

$\frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5}$.

6) Сократим дробь $\frac{6 - \sqrt{12}}{\sqrt{12} - 2}$.

Сначала упростим выражение $\sqrt{12}$: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим это значение в дробь:

$\frac{6 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 2}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $2$, а в знаменателе также $2$:

$\frac{2(3 - \sqrt{3})}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

Теперь в числителе $3 - \sqrt{3}$ вынесем за скобки $\sqrt{3}$: $3 - \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.

Дробь примет вид:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{3} - 1)$:

$\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.