Номер 112, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 112, страница 78.

Условие.

112. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $ \sqrt{21} $;

2) $ \sqrt{76} $;

3) $ \sqrt{0,32} $;

4) $ -\sqrt{46,25} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt{21}$, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" число 21.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.
Мы видим, что $16 < 21 < 25$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $4^2 < 21 < 5^2$.
Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt{4^2} < \sqrt{21} < \sqrt{5^2}$, что равносильно $4 < \sqrt{21} < 5$.
Следовательно, число $\sqrt{21}$ находится между целыми числами 4 и 5.
Ответ: между 4 и 5.

2) Аналогично первому пункту, найдем два последовательных целых числа, квадраты которых близки к 76.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$.
Так как $64 < 76 < 81$, мы можем записать неравенство: $8^2 < 76 < 9^2$.
Извлекая квадратный корень из всех частей, получим: $\sqrt{8^2} < \sqrt{76} < \sqrt{9^2}$, что означает $8 < \sqrt{76} < 9$.
Таким образом, число $\sqrt{76}$ находится между целыми числами 8 и 9.
Ответ: между 8 и 9.

3) Для числа $\sqrt{0,32}$ ищем два последовательных целых числа, квадраты которых "окружают" 0,32.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $0^2 = 0$ и $1^2 = 1$.
Очевидно, что $0 < 0,32 < 1$.
Запишем это в виде неравенства с квадратами: $0^2 < 0,32 < 1^2$.
Извлекая корень, получаем: $\sqrt{0^2} < \sqrt{0,32} < \sqrt{1^2}$, то есть $0 < \sqrt{0,32} < 1$.
Следовательно, число $\sqrt{0,32}$ находится между целыми числами 0 и 1.
Ответ: между 0 и 1.

4) Для отрицательного числа $-\sqrt{46,25}$ сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $\sqrt{46,25}$.
Найдем два последовательных целых числа, квадраты которых близки к 46,25.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$.
Поскольку $36 < 46,25 < 49$, мы имеем неравенство: $6^2 < 46,25 < 7^2$.
Извлекая корень, получаем: $\sqrt{6^2} < \sqrt{46,25} < \sqrt{7^2}$, то есть $6 < \sqrt{46,25} < 7$.
Теперь умножим все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-6 > -\sqrt{46,25} > -7$.
Запишем это в привычном порядке (от меньшего к большему): $-7 < -\sqrt{46,25} < -6$.
Таким образом, число $-\sqrt{46,25}$ находится между целыми числами -7 и -6.
Ответ: между -7 и -6.