Номер 117, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2014 - 2025
Цвет обложки: розовый, фиолетовый с папками
ISBN: 978-5-09-079636-1
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вариант 3. Упражнения - номер 117, страница 78.
№117 (с. 78)
Условие. №117 (с. 78)
скриншот условия

117. Упростите выражение:
1) $\sqrt{19+8\sqrt{3}};$
2) $\sqrt{32-10\sqrt{7}};$
3) $\sqrt{23+4\sqrt{19}} + \sqrt{55-12\sqrt{19}};$
4) $\sqrt{18-4\sqrt{14}} - \sqrt{63-14\sqrt{14}}.$
Решение 1. №117 (с. 78)

Решение 2. №117 (с. 78)

Решение 3. №117 (с. 78)
Для упрощения выражений такого типа используется формула извлечения корня из сложного радикала, которая основана на выделении полного квадрата под знаком корня. Общая идея состоит в том, чтобы представить выражение вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ как $\sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=A$ и $xy=B$.
1) $\sqrt{19+8\sqrt{3}}$
Для того чтобы применить формулу, преобразуем выражение так, чтобы перед внутренним корнем стоял множитель 2:
$\sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{19+2 \cdot 4\sqrt{3}} = \sqrt{19+2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{19+2\sqrt{48}}$.
Теперь нам нужно найти два числа, сумма которых равна 19, а произведение равно 48. Эти числа легко угадываются: 16 и 3.
$16+3=19$
$16 \cdot 3=48$
Следовательно, мы можем записать подкоренное выражение как полный квадрат:
$19+2\sqrt{48} = 16 + 2\sqrt{16 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{16}+\sqrt{3})^2 = (4+\sqrt{3})^2$.
Тогда исходное выражение упрощается до:
$\sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = |4+\sqrt{3}|$.
Поскольку оба слагаемых $4$ и $\sqrt{3}$ положительны, их сумма также положительна, и модуль можно опустить.
Ответ: $4+\sqrt{3}$.
2) $\sqrt{32-10\sqrt{7}}$
Аналогично первому пункту, преобразуем выражение:
$\sqrt{32-10\sqrt{7}} = \sqrt{32-2 \cdot 5\sqrt{7}} = \sqrt{32-2\sqrt{25 \cdot 7}} = \sqrt{32-2\sqrt{175}}$.
Ищем два числа, сумма которых 32, а произведение 175. Разложим 175 на множители: $175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 25 \cdot 7$. Числа 25 и 7 в сумме дают 32.
$25+7=32$
$25 \cdot 7=175$
Представляем подкоренное выражение как полный квадрат разности. Чтобы результат извлечения корня был положительным, из большего числа вычитаем меньшее:
$32-2\sqrt{175} = 25 - 2\sqrt{25 \cdot 7} + 7 = (\sqrt{25}-\sqrt{7})^2 = (5-\sqrt{7})^2$.
Тогда:
$\sqrt{(5-\sqrt{7})^2} = |5-\sqrt{7}|$.
Оценим знак выражения в модуле: $2^2=4$, $3^2=9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, $5-\sqrt{7}$ — положительное число, и модуль можно опустить.
Ответ: $5-\sqrt{7}$.
3) $\sqrt{23+4\sqrt{19}} + \sqrt{55-12\sqrt{19}}$
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt{23+4\sqrt{19}} = \sqrt{23+2\sqrt{4 \cdot 19}} = \sqrt{23+2\sqrt{76}}$.
Ищем числа с суммой 23 и произведением 76. Это числа 19 и 4.
$\sqrt{23+2\sqrt{76}} = \sqrt{(\sqrt{19}+\sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{19}+2)^2} = \sqrt{19}+2$.
Второе слагаемое: $\sqrt{55-12\sqrt{19}} = \sqrt{55-2\sqrt{36 \cdot 19}} = \sqrt{55-2\sqrt{684}}$.
Ищем числа с суммой 55 и произведением 684. Это числа 36 и 19.
$\sqrt{55-2\sqrt{684}} = \sqrt{(\sqrt{36}-\sqrt{19})^2} = \sqrt{(6-\sqrt{19})^2} = |6-\sqrt{19}|$.
Так как $4^2=16$ и $5^2=25$, то $4 < \sqrt{19} < 5$. Значит, $6-\sqrt{19} > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $6-\sqrt{19}$.
Теперь сложим результаты:
$(\sqrt{19}+2) + (6-\sqrt{19}) = \sqrt{19}+2+6-\sqrt{19} = 8$.
Ответ: $8$.
4) $\sqrt{18-4\sqrt{14}} - \sqrt{63-14\sqrt{14}}$
Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.
Уменьшаемое: $\sqrt{18-4\sqrt{14}} = \sqrt{18-2\sqrt{4 \cdot 14}} = \sqrt{18-2\sqrt{56}}$.
Ищем числа с суммой 18 и произведением 56. Это числа 14 и 4.
$\sqrt{18-2\sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{14}-\sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{14}-2)^2} = |\sqrt{14}-2|$.
Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{14} < 4$. Значит, $\sqrt{14}-2 > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{14}-2$.
Вычитаемое: $\sqrt{63-14\sqrt{14}} = \sqrt{63-2\sqrt{49 \cdot 14}} = \sqrt{63-2\sqrt{686}}$.
Ищем числа с суммой 63 и произведением 686. Это числа 49 и 14.
$\sqrt{63-2\sqrt{686}} = \sqrt{(\sqrt{49}-\sqrt{14})^2} = \sqrt{(7-\sqrt{14})^2} = |7-\sqrt{14}|$.
Так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $7-\sqrt{14} > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $7-\sqrt{14}$.
Теперь выполним вычитание:
$(\sqrt{14}-2) - (7-\sqrt{14}) = \sqrt{14}-2-7+\sqrt{14} = 2\sqrt{14}-9$.
Ответ: $2\sqrt{14}-9$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 117 расположенного на странице 78 к дидактическим материалам 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №117 (с. 78), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.