Номер 117, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3 - номер 117, страница 78.

Условие.

117. Упростите выражение:

1) $\sqrt{19+8\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{32-10\sqrt{7}};$

3) $\sqrt{23+4\sqrt{19}} + \sqrt{55-12\sqrt{19}};$

4) $\sqrt{18-4\sqrt{14}} - \sqrt{63-14\sqrt{14}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для упрощения выражений такого типа используется формула извлечения корня из сложного радикала, которая основана на выделении полного квадрата под знаком корня. Общая идея состоит в том, чтобы представить выражение вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ как $\sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=A$ и $xy=B$.

1) $\sqrt{19+8\sqrt{3}}$

Для того чтобы применить формулу, преобразуем выражение так, чтобы перед внутренним корнем стоял множитель 2:

$\sqrt{19+8\sqrt{3}} = \sqrt{19+2 \cdot 4\sqrt{3}} = \sqrt{19+2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{19+2\sqrt{48}}$.

Теперь нам нужно найти два числа, сумма которых равна 19, а произведение равно 48. Эти числа легко угадываются: 16 и 3.

$16+3=19$

$16 \cdot 3=48$

Следовательно, мы можем записать подкоренное выражение как полный квадрат:

$19+2\sqrt{48} = 16 + 2\sqrt{16 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{16}+\sqrt{3})^2 = (4+\sqrt{3})^2$.

Тогда исходное выражение упрощается до:

$\sqrt{(4+\sqrt{3})^2} = |4+\sqrt{3}|$.

Поскольку оба слагаемых $4$ и $\sqrt{3}$ положительны, их сумма также положительна, и модуль можно опустить.

Ответ: $4+\sqrt{3}$.

2) $\sqrt{32-10\sqrt{7}}$

Аналогично первому пункту, преобразуем выражение:

$\sqrt{32-10\sqrt{7}} = \sqrt{32-2 \cdot 5\sqrt{7}} = \sqrt{32-2\sqrt{25 \cdot 7}} = \sqrt{32-2\sqrt{175}}$.

Ищем два числа, сумма которых 32, а произведение 175. Разложим 175 на множители: $175 = 5 \cdot 35 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 25 \cdot 7$. Числа 25 и 7 в сумме дают 32.

$25+7=32$

$25 \cdot 7=175$

Представляем подкоренное выражение как полный квадрат разности. Чтобы результат извлечения корня был положительным, из большего числа вычитаем меньшее:

$32-2\sqrt{175} = 25 - 2\sqrt{25 \cdot 7} + 7 = (\sqrt{25}-\sqrt{7})^2 = (5-\sqrt{7})^2$.

Тогда:

$\sqrt{(5-\sqrt{7})^2} = |5-\sqrt{7}|$.

Оценим знак выражения в модуле: $2^2=4$, $3^2=9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Следовательно, $5-\sqrt{7}$ — положительное число, и модуль можно опустить.

Ответ: $5-\sqrt{7}$.

3) $\sqrt{23+4\sqrt{19}} + \sqrt{55-12\sqrt{19}}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\sqrt{23+4\sqrt{19}} = \sqrt{23+2\sqrt{4 \cdot 19}} = \sqrt{23+2\sqrt{76}}$.

Ищем числа с суммой 23 и произведением 76. Это числа 19 и 4.

$\sqrt{23+2\sqrt{76}} = \sqrt{(\sqrt{19}+\sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{19}+2)^2} = \sqrt{19}+2$.

Второе слагаемое: $\sqrt{55-12\sqrt{19}} = \sqrt{55-2\sqrt{36 \cdot 19}} = \sqrt{55-2\sqrt{684}}$.

Ищем числа с суммой 55 и произведением 684. Это числа 36 и 19.

$\sqrt{55-2\sqrt{684}} = \sqrt{(\sqrt{36}-\sqrt{19})^2} = \sqrt{(6-\sqrt{19})^2} = |6-\sqrt{19}|$.

Так как $4^2=16$ и $5^2=25$, то $4 < \sqrt{19} < 5$. Значит, $6-\sqrt{19} > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $6-\sqrt{19}$.

Теперь сложим результаты:

$(\sqrt{19}+2) + (6-\sqrt{19}) = \sqrt{19}+2+6-\sqrt{19} = 8$.

Ответ: $8$.

4) $\sqrt{18-4\sqrt{14}} - \sqrt{63-14\sqrt{14}}$

Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.

Уменьшаемое: $\sqrt{18-4\sqrt{14}} = \sqrt{18-2\sqrt{4 \cdot 14}} = \sqrt{18-2\sqrt{56}}$.

Ищем числа с суммой 18 и произведением 56. Это числа 14 и 4.

$\sqrt{18-2\sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{14}-\sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{14}-2)^2} = |\sqrt{14}-2|$.

Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{14} < 4$. Значит, $\sqrt{14}-2 > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{14}-2$.

Вычитаемое: $\sqrt{63-14\sqrt{14}} = \sqrt{63-2\sqrt{49 \cdot 14}} = \sqrt{63-2\sqrt{686}}$.

Ищем числа с суммой 63 и произведением 686. Это числа 49 и 14.

$\sqrt{63-2\sqrt{686}} = \sqrt{(\sqrt{49}-\sqrt{14})^2} = \sqrt{(7-\sqrt{14})^2} = |7-\sqrt{14}|$.

Так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $7-\sqrt{14} > 0$, и модуль можно опустить. Получаем $7-\sqrt{14}$.

Теперь выполним вычитание:

$(\sqrt{14}-2) - (7-\sqrt{14}) = \sqrt{14}-2-7+\sqrt{14} = 2\sqrt{14}-9$.

Ответ: $2\sqrt{14}-9$.