Номер 122, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Решите уравнение:

1) $(x+3)(x-7)+(x+5)(x-5)+4x=0;$

2) $(4x+3)^2-3(3-8x)=0.$

1) Решим уравнение $(x+3)(x-7)+(x+5)(x-5)+4x=0$.

Сначала раскроем скобки. Первое произведение $(x+3)(x-7)$ можно раскрыть, перемножив многочлены:

$(x+3)(x-7) = x \cdot x - 7 \cdot x + 3 \cdot x - 3 \cdot 7 = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21$.

Второе произведение $(x+5)(x-5)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x^2 - 4x - 21) + (x^2 - 25) + 4x = 0$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-21 - 25) = 0$

$2x^2 + 0 - 46 = 0$

$2x^2 - 46 = 0$.

Мы получили неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x^2 = 46$.

Разделим обе части на 2:

$x^2 = \frac{46}{2}$

$x^2 = 23$.

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{23}$.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{23}$ и $x_2 = -\sqrt{23}$.

Ответ: $\pm\sqrt{23}$.

2) Решим уравнение $(4x+3)^2-3(3-8x)=0$.

Сначала раскроем скобки. Выражение $(4x+3)^2$ является квадратом суммы и раскрывается по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(4x+3)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 + 24x + 9$.

Далее раскроем второе выражение, умножив $-3$ на содержимое скобок:

$-3(3-8x) = -3 \cdot 3 - 3 \cdot (-8x) = -9 + 24x$.

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(16x^2 + 24x + 9) + (-9 + 24x) = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + (24x + 24x) + (9 - 9) = 0$

$16x^2 + 48x = 0$.

Мы получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $16x$ за скобки:

$16x(x+3) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

$16x=0$ или $x+3=0$.

Решая первое уравнение, получаем:

$x_1 = 0$.

Решая второе уравнение, получаем:

$x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 0$.