Номер 126, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение:

1) $(2x + 5)(x + 2) = 21;$

2) $(x + 3)(x - 1) - (3x + 1)(x - 7) = x(x + 18);$

3) $(4x - 3)^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 24.$

Для решения этих уравнений необходимо сначала раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и свести каждое выражение к стандартному квадратному уравнению вида $ax^2 + bx + c = 0$, которое решается через дискриминант.

1) $(2x + 5)(x + 2) = 21$

1. Перемножаем скобки: $2x^2 + 4x + 5x + 10 = 21$.
2. Переносим 21 влево и приводим подобные: $2x^2 + 9x - 11 = 0$.
3. Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.
4. Находим корни:
   $x_1 = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1$;
   $x_2 = \frac{-9 - 13}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5$.

Ответ: 1; -5,5.

2) $(x + 3)(x - 1) - (3x + 1)(x - 7) = x(x + 18)$

1. Раскрываем первую пару скобок: $x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$.
2. Раскрываем вторую пару (внимательно со знаком минус): $-(3x^2 - 21x + x - 7) = -3x^2 + 20x + 7$.
3. Раскрываем правую часть: $x^2 + 18x$.
4. Собираем всё вместе: $(x^2 + 2x - 3) + (-3x^2 + 20x + 7) = x^2 + 18x$.
   $-2x^2 + 22x + 4 = x^2 + 18x$.
5. Переносим всё в одну сторону: $-3x^2 + 4x + 4 = 0$ или $3x^2 - 4x - 4 = 0$.
6. Решаем через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
   $x_1 = \frac{4 + 8}{6} = 2$;
   $x_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: 2; $-\frac{2}{3}$.

3) $(4x - 3)^2 + (2x - 1)(2x + 1) = 24$

1. Применяем формулу квадрата разности: $(4x - 3)^2 = 16x^2 - 24x + 9$.
2. Применяем формулу разности квадратов: $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1$.
3. Подставляем в уравнение: $(16x^2 - 24x + 9) + (4x^2 - 1) = 24$.
   $20x^2 - 24x + 8 = 24$.
4. Переносим 24 влево: $20x^2 - 24x - 16 = 0$.
5. Сократим уравнение на 4 для удобства: $5x^2 - 6x - 4 = 0$.
6. Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 36 + 80 = 116$.
   $\sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$.
7. Корни: $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{5}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{29}}{5}$.