Номер 128, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Решите уравнение:

1) $2x^2 - 3x\sqrt{6} + 6 = 0;$

2) $x^2 - x(2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x\sqrt{6} + 6 = 0$ с помощью дискриминанта. Это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны:

$a=2$, $b=-3\sqrt{6}$, $c=6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 - 48 = 54 - 48 = 6$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-3\sqrt{6}) \pm \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6} \pm \sqrt{6}}{4}$.

Теперь вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{3\sqrt{6} + \sqrt{6}}{4} = \frac{4\sqrt{6}}{4} = \sqrt{6}$.

$x_2 = \frac{3\sqrt{6} - \sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}; \sqrt{6}$.

2) Решим квадратное уравнение $x^2 - x(2-\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 0$. Это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Раскроем скобки, чтобы определить коэффициенты:

$x^2 - (2-\sqrt{3})x - 2\sqrt{3} = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$, $c=-2\sqrt{3}$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (\sqrt{3}-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2\sqrt{3}) = (3 - 4\sqrt{3} + 4) + 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3}$.

Для нахождения корней необходимо извлечь квадратный корень из дискриминанта. Представим выражение $7 + 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:

$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(\sqrt{3}-2) \pm (2+\sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{2-\sqrt{3} \pm (2+\sqrt{3})}{2}$.

Теперь вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{2-\sqrt{3} + (2+\sqrt{3})}{2} = \frac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{2-\sqrt{3} - (2+\sqrt{3})}{2} = \frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; 2$.