Номер 132, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат третьего из них на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел.

Пусть первое из трех последовательных нечетных натуральных чисел равно $x$. Так как числа являются последовательными нечетными, каждое следующее число больше предыдущего на 2. Следовательно, второе число равно $x + 2$, а третье число равно $x + 4$.

По условию задачи, квадрат третьего числа на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел. Запишем это в виде уравнения:

$(x + 4)^2 = 3 \cdot x \cdot (x + 2) - 24$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 3x^2 + 6x - 24$

$x^2 + 8x + 16 = 3x^2 + 6x - 24$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (3x^2 - x^2) + (6x - 8x) + (-24 - 16)$

$0 = 2x^2 - 2x - 40$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

По условию задачи мы ищем натуральные числа. Натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $x_2 = -4$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $x_1 = 5$ является натуральным и нечетным числом, значит, он нам подходит.

Таким образом, первое число равно 5.

Найдем второе и третье числа:

Второе число: $x + 2 = 5 + 2 = 7$

Третье число: $x + 4 = 5 + 4 = 9$

Искомые числа: 5, 7, 9.

Проверим, выполняется ли условие задачи:

Квадрат третьего числа: $9^2 = 81$.

Утроенное произведение первого и второго чисел: $3 \cdot (5 \cdot 7) = 3 \cdot 35 = 105$.

Найдем разницу: $105 - 81 = 24$.

Условие "квадрат третьего из них на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел" выполняется. Следовательно, числа найдены верно.

Ответ: 5, 7, 9.