Номер 134, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 35 диагоналей?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения количества диагоналей в выпуклом многоугольнике. Если многоугольник имеет $n$ сторон (и, соответственно, $n$ вершин), то количество диагоналей $d$ в нём можно вычислить по формуле:

$d = \frac{n(n-3)}{2}$

В этой формуле $n$ — это количество сторон многоугольника. Из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали (ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних). Так как вершин $n$, мы получаем $n(n-3)$. Делим на 2, чтобы не считать каждую диагональ дважды (например, диагональ из вершины A в B и из B в A — это одна и та же диагональ).

По условию задачи нам дано, что количество диагоналей $d = 35$. Подставим это значение в формулу и решим получившееся уравнение:

$35 = \frac{n(n-3)}{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$70 = n(n-3)$

Теперь раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$70 = n^2 - 3n$

$n^2 - 3n - 70 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдём их:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Количество сторон многоугольника $n$ по определению должно быть целым положительным числом, большим или равным 3. Поэтому корень $n_2 = -7$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 10$.

Таким образом, многоугольник, в котором можно провести 35 диагоналей, имеет 10 сторон.

Ответ: 10.