Номер 140, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 140, страница 80.

Условие.

140. При каких значениях c имеет единственный корень уравнение:

1) $cx^2 - 5x + 2 = 0;$

2) $(c - 6)x^2 + (c - 4)x + 2 = 0;$

3) $(c + 1)x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $cx^2 - 5x + 2 = 0$

Уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ имеет единственный корень в двух случаях: когда оно является линейным (коэффициент $a=0$, а $b \neq 0$), либо когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом ($a \neq 0$, $D=0$).

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. В данном уравнении это $c$.

Пусть $c = 0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 - 5x + 2 = 0$

$-5x + 2 = 0$

Это линейное уравнение, так как коэффициент при $x$ равен $-5 \neq 0$. Оно имеет единственный корень $x = \frac{2}{5}$.

Следовательно, при $c = 0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Уравнение является квадратным и его дискриминант равен нулю.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($c \neq 0$), а дискриминант $D = b^2 - 4ac$ равен нулю.

В нашем уравнении коэффициенты: $a=c$, $b=-5$, постоянный член равен $2$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot c \cdot 2 = 25 - 8c$

Приравняем дискриминант к нулю:

$25 - 8c = 0$

$8c = 25$

$c = \frac{25}{8}$

При этом значении $c$ коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($\frac{25}{8} \neq 0$), поэтому это допустимое решение.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $c=0$ и $c=\frac{25}{8}$.

Ответ: $c=0$; $c=\frac{25}{8}$.

---

2) $(c - 6)x^2 + (c - 4)x + 2 = 0$

Случай 1: Уравнение является линейным.

Коэффициент при $x^2$ равен $c-6$. Приравняем его к нулю:

$c - 6 = 0 \implies c = 6$.

Подставим $c=6$ в исходное уравнение, чтобы проверить, что коэффициент при $x$ не равен нулю:

$(6 - 6)x^2 + (6 - 4)x + 2 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$

$2x + 2 = 0$

Коэффициент при $x$ равен $2 \neq 0$, значит, это линейное уравнение с единственным корнем $x = -1$.

Следовательно, $c = 6$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным с нулевым дискриминантом.

Это возможно, если $c-6 \neq 0$ (т.е. $c \neq 6$) и $D=0$.

Коэффициенты: $a=c-6$, $b=c-4$, постоянный член равен $2$.

$D = (c-4)^2 - 4 \cdot (c-6) \cdot 2 = c^2 - 8c + 16 - 8(c-6) = c^2 - 8c + 16 - 8c + 48 = c^2 - 16c + 64$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$c^2 - 16c + 64 = 0$

Это полный квадрат: $(c-8)^2 = 0$.

$c - 8 = 0 \implies c = 8$.

Это значение удовлетворяет условию $c \neq 6$, значит, является решением.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $c=6$ и $c=8$.

Ответ: $c=6$; $c=8$.

---

3) $(c + 1)x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0$

Случай 1: Уравнение является линейным.

Коэффициент при $x^2$ равен $c+1$. Приравняем его к нулю:

$c+1=0 \implies c=-1$.

Подставим $c=-1$ в исходное уравнение:

$(-1 + 1)x^2 + (2(-1) + 2)x - 5 = 0$

$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 5 = 0$

$-5 = 0$

Получено неверное равенство. Это означает, что при $c=-1$ уравнение не имеет корней. Этот случай не дает решений.

Случай 2: Уравнение является квадратным с нулевым дискриминантом.

Это возможно, если $c+1 \neq 0$ (т.е. $c \neq -1$) и $D=0$.

Коэффициенты: $a=c+1$, $b=2c+2$, постоянный член равен $-5$.

$D = (2c+2)^2 - 4 \cdot (c+1) \cdot (-5) = (2(c+1))^2 + 20(c+1) = 4(c+1)^2 + 20(c+1)$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4(c+1)^2 + 20(c+1) = 0$

Вынесем общий множитель $4(c+1)$ за скобки:

$4(c+1)((c+1) + 5) = 0$

$4(c+1)(c+6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$c+1 = 0$ или $c+6 = 0$.

$c = -1$ или $c = -6$.

Согласно условию этого случая, уравнение должно быть квадратным, то есть $c+1 \neq 0 \implies c \neq -1$. Поэтому решение $c = -1$ исключается.

Остается единственное решение $c = -6$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень только при $c=-6$.

Ответ: $c=-6$.