Номер 146, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Число $- \frac{1}{6}$ является корнем уравнения $3x^2 + mx + 2 = 0$. Найдите значение $m$ и второй корень уравнения.

Найдите значение m

Поскольку число $x = -\frac{1}{6}$ является корнем уравнения $3x^2 + mx + 2 = 0$, оно должно обращать это уравнение в верное равенство при подстановке. Подставим значение корня в уравнение:

$3 \cdot (-\frac{1}{6})^2 + m \cdot (-\frac{1}{6}) + 2 = 0$

Теперь выполним вычисления, чтобы найти $m$:

$3 \cdot \frac{1}{36} - \frac{m}{6} + 2 = 0$

$\frac{3}{36} - \frac{m}{6} + 2 = 0$

$\frac{1}{12} - \frac{m}{6} + 2 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждый член уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{1}{12} - 12 \cdot \frac{m}{6} + 12 \cdot 2 = 12 \cdot 0$

$1 - 2m + 24 = 0$

$25 - 2m = 0$

$2m = 25$

$m = \frac{25}{2} = 12.5$

Ответ: $m = 12.5$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, зная $m$, мы можем записать уравнение полностью:

$3x^2 + 12.5x + 2 = 0$ или $3x^2 + \frac{25}{2}x + 2 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) удобно использовать теорему Виета. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 12.5$, $c = 2$. Один из корней нам известен: $x_1 = -\frac{1}{6}$.

Применим формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$(-\frac{1}{6}) \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Теперь выразим $x_2$:

$x_2 = \frac{2}{3} \div (-\frac{1}{6})$

$x_2 = \frac{2}{3} \cdot (-6)$

$x_2 = -\frac{12}{3}$

$x_2 = -4$

Ответ: второй корень уравнения равен -4.