Номер 149, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 149, страница 81.

Условие.

149. Один из корней уравнения $x^2 - 7x + p = 0$ на 5 меньше другого. Найдите корни уравнения и значение $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + p = 0$. Пусть его корни будут $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один корень на 5 меньше другого. Это можно записать как $x_2 = x_1 + 5$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 - 7x + p = 0$ коэффициенты равны $b = -7$ и $c = p$.
Применим теорему Виета к нашему уравнению:
1) $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
2) $x_1 \cdot x_2 = p$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_2 = x_1 + 5$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:
$x_1 + (x_1 + 5) = 7$
$2x_1 + 5 = 7$
$2x_1 = 7 - 5$
$2x_1 = 2$
$x_1 = 1$

Зная $x_1$, найдем второй корень $x_2$:
$x_2 = x_1 + 5 = 1 + 5 = 6$
Таким образом, корни уравнения — это 1 и 6.

Теперь, когда мы знаем оба корня, мы можем найти значение параметра $p$, используя вторую формулу из теоремы Виета:
$p = x_1 \cdot x_2$
$p = 1 \cdot 6 = 6$

Ответ: корни уравнения: 1 и 6; значение $p = 6$.