Номер 156, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 156, страница 82.

Условие.

156. Сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 1 = 0$ равна $\frac{22}{9}$. Найдите значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $3x^2 + ax - 1 = 0$. По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна $\frac{22}{9}$, что можно записать как $x_1^2 + x_2^2 = \frac{22}{9}$.

Для нахождения связи между корнями и коэффициентами уравнения воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты равны $A=3$, $B=a$, $C=-1$. Применяя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

Сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через сумму и произведение корней, используя алгебраическое тождество:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество выражения для суммы и произведения корней, а также известное значение суммы квадратов:
$\frac{22}{9} = \left(-\frac{a}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$\frac{22}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{2}{3}$
Вычтем $\frac{2}{3}$ из обеих частей. Для этого приведем дробь к общему знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$.
$\frac{a^2}{9} = \frac{22}{9} - \frac{6}{9}$
$\frac{a^2}{9} = \frac{16}{9}$
Умножим обе части уравнения на 9:
$a^2 = 16$
Извлекая квадратный корень, находим два возможных значения для $a$:
$a = 4$ и $a = -4$.

Убедимся, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант уравнения $D = B^2 - 4AC = a^2 - 4(3)(-1) = a^2 + 12$. Так как $a^2 \ge 0$, то $D = a^2 + 12 > 0$ при любом значении $a$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня, поэтому оба найденных значения $a$ являются решениями.

Ответ: $a = \pm 4$.