Номер 161, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 161, страница 83.

Условие.

161. Упростите выражение:

1) $\frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{5y^2 - 5}{2y^2 + 7y - 4} \cdot \frac{1 - 2y}{y - 1};$

2) $\frac{90 - y}{y^3 - 25y} : \left( \frac{y + 5}{4y^2 - 19y - 5} - \frac{25}{y^2 - 25} \right);$

3) $\left( \frac{4m}{m^2 - m - 6} - \frac{10}{m^2 - 9} \right) : \frac{2m - 4}{m^2 + 5m + 6} - \frac{17 - 2m}{m - 3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{5y^2 - 5}{2y^2 + 7y - 4} \cdot \frac{1 - 2y}{y - 1} $
Сначала выполним умножение дробей. Для этого разложим на множители числители и знаменатели.
$5y^2 - 5 = 5(y^2 - 1) = 5(y - 1)(y + 1)$
$1 - 2y = -(2y - 1)$
Знаменатель $2y^2 + 7y - 4$ разложим на множители, найдя его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$
$y_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$
Следовательно, $2y^2 + 7y - 4 = 2(y - \frac{1}{2})(y + 4) = (2y - 1)(y + 4)$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{5(y - 1)(y + 1)}{(2y - 1)(y + 4)} \cdot \frac{-(2y - 1)}{y - 1} = -\frac{5(y-1)(y+1)(2y-1)}{(2y-1)(y+4)(y-1)}$
Сокращаем одинаковые множители $(y-1)$ и $(2y-1)$:
$-\frac{5(y + 1)}{y + 4} = \frac{-5y - 5}{y + 4}$
Теперь вернемся к исходному выражению и выполним сложение:
$\frac{17 + 8y}{y + 4} + \frac{-5y - 5}{y + 4} = \frac{17 + 8y - 5y - 5}{y + 4} = \frac{3y + 12}{y + 4}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{3(y + 4)}{y + 4} = 3$
Ответ: 3

2) $ \frac{90 - y}{y^3 - 25y} : \left( \frac{y + 5}{4y^2 - 19y - 5} - \frac{25}{y^2 - 25} \right) $
Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители.
$y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$
$4y^2 - 19y - 5$. Найдем корни: $D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441 = 21^2$.
$y_1 = \frac{19 + 21}{8} = \frac{40}{8} = 5$, $y_2 = \frac{19 - 21}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
$4y^2 - 19y - 5 = 4(y-5)(y+\frac{1}{4}) = (y-5)(4y+1)$.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$\frac{y + 5}{(y-5)(4y+1)} - \frac{25}{(y - 5)(y + 5)}$
Общий знаменатель: $(y-5)(y+5)(4y+1)$.
$\frac{(y + 5)(y+5) - 25(4y+1)}{(y-5)(y+5)(4y+1)} = \frac{y^2 + 10y + 25 - 100y - 25}{(y-5)(y+5)(4y+1)} = \frac{y^2 - 90y}{(y-5)(y+5)(4y+1)} = \frac{y(y-90)}{(y-5)(y+5)(4y+1)}$
Теперь преобразуем первую дробь:
$\frac{90 - y}{y^3 - 25y} = \frac{-(y-90)}{y(y^2-25)} = \frac{-(y-90)}{y(y-5)(y+5)}$
Выполним деление:
$\frac{-(y-90)}{y(y-5)(y+5)} : \frac{y(y-90)}{(y-5)(y+5)(4y+1)} = \frac{-(y-90)}{y(y-5)(y+5)} \cdot \frac{(y-5)(y+5)(4y+1)}{y(y-90)}$
Сокращаем общие множители $(y-90)$, $(y-5)$ и $(y+5)$:
$\frac{-1 \cdot (4y+1)}{y \cdot y} = -\frac{4y+1}{y^2}$
Ответ: $-\frac{4y + 1}{y^2}$

3) $ \left( \frac{4m}{m^2 - m - 6} - \frac{10}{m^2 - 9} \right) : \frac{2m - 4}{m^2 + 5m + 6} - \frac{17 - 2m}{m - 3} $
Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатели на множители.
$m^2 - m - 6 = (m-3)(m+2)$
$m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$
$\frac{4m}{(m-3)(m+2)} - \frac{10}{(m-3)(m+3)} = \frac{4m(m+3) - 10(m+2)}{(m-3)(m+2)(m+3)} = \frac{4m^2+12m-10m-20}{(m-3)(m+2)(m+3)} = \frac{4m^2+2m-20}{(m-3)(m+2)(m+3)}$
Разложим числитель $4m^2+2m-20 = 2(2m^2+m-10)$.
Для $2m^2+m-10=0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81=9^2$. $m_1 = \frac{-1+9}{4}=2$, $m_2 = \frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2}$.
$2m^2+m-10 = 2(m-2)(m+\frac{5}{2}) = (m-2)(2m+5)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{2(m-2)(2m+5)}{(m-3)(m+2)(m+3)}$.
Теперь преобразуем делитель:
$\frac{2m - 4}{m^2 + 5m + 6} = \frac{2(m-2)}{(m+2)(m+3)}$.
Выполним деление:
$\frac{2(m-2)(2m+5)}{(m-3)(m+2)(m+3)} : \frac{2(m-2)}{(m+2)(m+3)} = \frac{2(m-2)(2m+5)}{(m-3)(m+2)(m+3)} \cdot \frac{(m+2)(m+3)}{2(m-2)}$
Сокращаем общие множители $2$, $(m-2)$, $(m+2)$ и $(m+3)$:
$\frac{2m+5}{m-3}$
Наконец, выполним вычитание:
$\frac{2m+5}{m-3} - \frac{17 - 2m}{m - 3} = \frac{(2m+5) - (17-2m)}{m-3} = \frac{2m+5-17+2m}{m-3} = \frac{4m-12}{m-3}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{4(m-3)}{m-3} = 4$
Ответ: 4