Номер 167, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 167, страница 84.

Условие.

167. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $ \frac{x^2}{(2x-1)^2} - \frac{4x}{2x-1} + 3 = 0; $

2) $ \frac{x+4}{x-2} + \frac{x-2}{x+4} = 5\frac{1}{5}; $

3) $ \frac{3x-1}{x} - \frac{2x}{5(3x-1)} = \frac{9}{5}; $

4) $ \frac{5x-1}{x-2} + \frac{5(x-2)}{5x+1} = 6; $

5) $ \frac{x^2+4x-1}{3} - \frac{4}{3x^2+12x-3} = 1; $

6) $ \frac{x^2-6x-4}{x} + \frac{6x}{x^2-6x-4} = -7; $

7) $ \frac{2}{x^2-5x+6} + \frac{3}{x^2-5x+7} = \frac{8}{x^2-5x+8}; $

8) $ \frac{6}{x^2-3x+5} - x^2+3x = 4. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{(2x-1)^2} - \frac{4x}{2x-1} + 3 = 0 $.
Заметим, что левую часть можно переписать в виде: $ (\frac{x}{2x-1})^2 - 4(\frac{x}{2x-1}) + 3 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} $.
Произведем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2x-1} $.
Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $ t $:
$ t^2 - 4t + 3 = 0 $
По теореме Виета, корни этого уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 3 $.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t = 1 $
$ \frac{x}{2x-1} = 1 $
$ x = 2x - 1 $
$ x = 1 $.
Корень $ x=1 $ удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $ t = 3 $
$ \frac{x}{2x-1} = 3 $
$ x = 3(2x - 1) $
$ x = 6x - 3 $
$ 5x = 3 $
$ x = \frac{3}{5} $.
Корень $ x=\frac{3}{5} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 1; \frac{3}{5} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x+4}{x-2} + \frac{x-2}{x+4} = 5\frac{1}{5} $.
ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $ и $ x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 $.
Заметим, что дроби в левой части являются взаимно обратными. Сделаем замену: $ t = \frac{x+4}{x-2} $.
Тогда $ \frac{x-2}{x+4} = \frac{1}{t} $. Уравнение принимает вид:
$ t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5} $
Умножим обе части на $ 5t $ (где $t \neq 0$):
$ 5t^2 + 5 = 26t $
$ 5t^2 - 26t + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 $.
Корни: $ t = \frac{26 \pm 24}{10} $.
$ t_1 = \frac{26+24}{10} = 5 $
$ t_2 = \frac{26-24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=5 $
$ \frac{x+4}{x-2} = 5 $
$ x+4 = 5(x-2) $
$ x+4 = 5x-10 $
$ 4x = 14 $
$ x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $ t=\frac{1}{5} $
$ \frac{x+4}{x-2} = \frac{1}{5} $
$ 5(x+4) = x-2 $
$ 5x+20 = x-2 $
$ 4x = -22 $
$ x = -\frac{22}{4} = -\frac{11}{2} = -5.5 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 3.5; -5.5 $.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{3x-1}{x} - \frac{2x}{5(3x-1)} = \frac{9}{5} $.
ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ 3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3} $.
Сделаем замену: $ t = \frac{3x-1}{x} $. Тогда $ \frac{x}{3x-1} = \frac{1}{t} $ и $ \frac{2x}{5(3x-1)} = \frac{2}{5t} $.
Уравнение принимает вид:
$ t - \frac{2}{5t} = \frac{9}{5} $
Умножим обе части на $ 5t $ (где $t \neq 0$):
$ 5t^2 - 2 = 9t $
$ 5t^2 - 9t - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2 $.
Корни: $ t = \frac{9 \pm 11}{10} $.
$ t_1 = \frac{9+11}{10} = 2 $
$ t_2 = \frac{9-11}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} $
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=2 $
$ \frac{3x-1}{x} = 2 $
$ 3x-1 = 2x $
$ x = 1 $. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $ t=-\frac{1}{5} $
$ \frac{3x-1}{x} = -\frac{1}{5} $
$ 5(3x-1) = -x $
$ 15x-5 = -x $
$ 16x = 5 $
$ x = \frac{5}{16} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 1; \frac{5}{16} $.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{5x-1}{x-2} + \frac{5(x-2)}{5x+1} = 6 $.
ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $ и $ 5x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{5} $.
Сделаем замену: $ t = \frac{5x-1}{x-2} $.
Выразим $ x $ через $ t $:
$ t(x-2) = 5x-1 \implies tx - 2t = 5x - 1 \implies tx - 5x = 2t - 1 \implies x(t-5) = 2t - 1 \implies x = \frac{2t-1}{t-5} $. Заметим, что $t \neq 5$.
Теперь подставим это выражение для $x$ во второе слагаемое исходного уравнения:
$ \frac{5(x-2)}{5x+1} = \frac{5(\frac{2t-1}{t-5}-2)}{5(\frac{2t-1}{t-5})+1} = \frac{5(\frac{2t-1-2(t-5)}{t-5})}{\frac{5(2t-1)+(t-5)}{t-5}} = \frac{5(2t-1-2t+10)}{10t-5+t-5} = \frac{5(9)}{11t-10} = \frac{45}{11t-10} $
Подставим все в уравнение относительно $t$:
$ t + \frac{45}{11t-10} = 6 $
Умножим на $ 11t-10 $:
$ t(11t-10) + 45 = 6(11t-10) $
$ 11t^2 - 10t + 45 = 66t - 60 $
$ 11t^2 - 76t + 105 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-76)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 105 = 5776 - 4620 = 1156 = 34^2 $.
Корни: $ t = \frac{76 \pm 34}{22} $.
$ t_1 = \frac{76+34}{22} = \frac{110}{22} = 5 $. Этот корень не подходит, так как при замене мы выяснили, что $t \neq 5$.
$ t_2 = \frac{76-34}{22} = \frac{42}{22} = \frac{21}{11} $.
Выполним обратную замену для $ t_2 $:
$ \frac{5x-1}{x-2} = \frac{21}{11} $
$ 11(5x-1) = 21(x-2) $
$ 55x - 11 = 21x - 42 $
$ 34x = -31 $
$ x = -\frac{31}{34} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{31}{34} $.

5)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+4x-1}{3} - \frac{4}{3x^2+12x-3} = 1 $.
Заметим, что знаменатель второго слагаемого можно преобразовать: $ 3x^2+12x-3 = 3(x^2+4x-1) $.
ОДЗ: $ 3(x^2+4x-1) \neq 0 \implies x^2+4x-1 \neq 0 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{x^2+4x-1}{3} - \frac{4}{3(x^2+4x-1)} = 1 $
Сделаем замену: $ t = x^2+4x-1 $. Тогда уравнение для $t$ будет:
$ \frac{t}{3} - \frac{4}{3t} = 1 $
Умножим обе части на $ 3t $ (где $ t \neq 0 $ по ОДЗ):
$ t^2 - 4 = 3t $
$ t^2 - 3t - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = -1 $.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=4 $
$ x^2+4x-1 = 4 $
$ x^2+4x-5 = 0 $
По теореме Виета, корни $ x_1=1 $, $ x_2=-5 $.
Случай 2: $ t=-1 $
$ x^2+4x-1 = -1 $
$ x^2+4x = 0 $
$ x(x+4) = 0 $
Корни $ x_3=0 $, $ x_4=-4 $.
Все четыре корня являются решениями, так как для них $ t \neq 0 $.

Ответ: $ -5; -4; 0; 1 $.

6)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2-6x-4}{x} + \frac{6x}{x^2-6x-4} = -7 $.
ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x^2-6x-4 \neq 0 $.
Сделаем замену: $ t = \frac{x^2-6x-4}{x} $. Тогда второе слагаемое $ \frac{6x}{x^2-6x-4} = \frac{6}{t} $.
Уравнение принимает вид:
$ t + \frac{6}{t} = -7 $
Умножим на $t$ (где $t \neq 0$):
$ t^2 + 6 = -7t $
$ t^2 + 7t + 6 = 0 $
По теореме Виета, корни $ t_1=-1 $ и $ t_2=-6 $.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=-1 $
$ \frac{x^2-6x-4}{x} = -1 \implies x^2-6x-4 = -x \implies x^2-5x-4 = 0 $.
Решим квадратное уравнение: $ D = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 25+16=41 $. Корни: $ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} $.
Случай 2: $ t=-6 $
$ \frac{x^2-6x-4}{x} = -6 \implies x^2-6x-4 = -6x \implies x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 $.
Корни $ x = 2 $ и $ x = -2 $.
Проверим ОДЗ для всех найденных корней. Ни один из них не равен 0. Проверим условие $ x^2-6x-4 \neq 0 $. Для $ x= \pm 2 $, $ x^2-4=0 $, поэтому $ x^2-6x-4 = -6x \neq 0 $. Для $ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} $, $ x^2-5x-4=0 $, поэтому $ x^2-6x-4 = -x \neq 0 $. Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ -2; 2; \frac{5 - \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2} $.

7)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2-5x+6} + \frac{3}{x^2-5x+7} = \frac{8}{x^2-5x+8} $.
Заметим общий элемент $ x^2-5x $ в знаменателях. Сделаем замену: $ t = x^2-5x $.
ОДЗ: $ x^2-5x+6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2, x \neq 3 $.
Знаменатели $ x^2-5x+7 $ и $ x^2-5x+8 $ не равны нулю ни при каких действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны.
После замены уравнение принимает вид:
$ \frac{2}{t+6} + \frac{3}{t+7} = \frac{8}{t+8} $
Приведем к общему знаменателю $ (t+6)(t+7)(t+8) $, при условии, что $ t \neq -6, t \neq -7, t \neq -8 $.
$ 2(t+7)(t+8) + 3(t+6)(t+8) = 8(t+6)(t+7) $
$ 2(t^2+15t+56) + 3(t^2+14t+48) = 8(t^2+13t+42) $
$ 2t^2+30t+112 + 3t^2+42t+144 = 8t^2+104t+336 $
$ 5t^2+72t+256 = 8t^2+104t+336 $
$ 3t^2+32t+80 = 0 $
Решим квадратное уравнение. $ D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64 = 8^2 $.
Корни: $ t = \frac{-32 \pm 8}{6} $.
$ t_1 = \frac{-32+8}{6} = \frac{-24}{6} = -4 $
$ t_2 = \frac{-32-8}{6} = -\frac{40}{6} = -\frac{20}{3} $
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=-4 $
$ x^2-5x = -4 \implies x^2-5x+4 = 0 $.
По теореме Виета, $ (x-1)(x-4)=0 $, корни $ x_1=1, x_2=4 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Случай 2: $ t=-\frac{20}{3} $
$ x^2-5x = -\frac{20}{3} \implies 3x^2-15x+20 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 225 - 240 = -15 < 0 $. В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $ 1; 4 $.

8)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2-3x+5} - x^2+3x = 4 $.
Преобразуем уравнение, выделив повторяющееся выражение:
$ \frac{6}{x^2-3x+5} - (x^2-3x) = 4 $
ОДЗ: знаменатель $ x^2-3x+5 \neq 0 $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0 $. Так как старший коэффициент положителен, знаменатель всегда больше нуля. Ограничений на $x$ нет.
Сделаем замену: $ t = x^2-3x $. Тогда $ x^2-3x+5 = t+5 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{6}{t+5} - t = 4 $
Умножим на $ t+5 $ (при условии $t \neq -5$):
$ 6 - t(t+5) = 4(t+5) $
$ 6 - t^2 - 5t = 4t + 20 $
$ t^2 + 9t + 14 = 0 $
По теореме Виета, $ (t+2)(t+7)=0 $, корни $ t_1=-2, t_2=-7 $. Оба корня не равны -5.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $ t=-2 $
$ x^2-3x = -2 \implies x^2-3x+2 = 0 $.
По теореме Виета, $ (x-1)(x-2)=0 $, корни $ x_1=1, x_2=2 $.
Случай 2: $ t=-7 $
$ x^2-3x = -7 \implies x^2-3x+7 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0 $. Действительных корней нет.

Ответ: $ 1; 2 $.