Номер 169, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 169, страница 85.

Условие.

169. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - 3ax + 2}{x + 3} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x^2 - 3ax + 2 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Из второго условия получаем, что $x \neq -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень, если квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 2 = 0$ имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условию $x \neq -3$.

Рассмотрим два возможных случая, при которых это условие выполняется.

Случай 1: Квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 2 = 0$ имеет единственный корень, и этот корень не равен -3.

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Найдем дискриминант:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9a^2 - 8$

Приравняем дискриминант к нулю:

$9a^2 - 8 = 0$

$9a^2 = 8$

$a^2 = \frac{8}{9}$

$a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = -\frac{b}{2a_{\text{коэф}}}$. В нашем случае $x = \frac{-(-3a)}{2 \cdot 1} = \frac{3a}{2}$.

Теперь нужно убедиться, что этот корень не равен -3, то есть $x \neq -3$.

$\frac{3a}{2} \neq -3 \implies 3a \neq -6 \implies a \neq -2$.

Найденные значения $a = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ не равны -2. Следовательно, при этих значениях $a$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Квадратное уравнение $x^2 - 3ax + 2 = 0$ имеет два различных корня, и один из них равен -3.

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$, то есть $9a^2 - 8 > 0$.

Один из корней должен быть равен -3. Подставим $x = -3$ в уравнение числителя, чтобы найти соответствующее значение $a$:

$(-3)^2 - 3a(-3) + 2 = 0$

$9 + 9a + 2 = 0$

$11 + 9a = 0$

$9a = -11$

$a = -\frac{11}{9}$

Теперь необходимо проверить, выполняется ли для этого значения $a$ условие $D > 0$.

$D = 9\left(-\frac{11}{9}\right)^2 - 8 = 9\left(\frac{121}{81}\right) - 8 = \frac{121}{9} - 8 = \frac{121 - 72}{9} = \frac{49}{9}$

Поскольку $D = \frac{49}{9} > 0$, при $a = -\frac{11}{9}$ уравнение $x^2 - 3ax + 2 = 0$ действительно имеет два различных корня. Один из них $x_1 = -3$. Этот корень не является решением исходного уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль. Второй корень и будет единственным решением. Найдем его, например, по теореме Виета. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену уравнения, то есть 2.

$x_1 \cdot x_2 = 2$

$(-3) \cdot x_2 = 2 \implies x_2 = -\frac{2}{3}$

Так как $x_2 = -\frac{2}{3} \neq -3$, то при $a = -\frac{11}{9}$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{2}{3}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \left\{-\frac{11}{9}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3}\right\}$.