Номер 164, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 3. Упражнения - номер 164, страница 83.

Условие.

164. Решите уравнение:

1) $x^4 - 82x^2 + 81 = 0;$

2) $x^4 + 12x^2 - 64 = 0;$

3) $4x^4 - 21x^2 + 5 = 0;$

4) $3x^4 + 16x^2 - 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $x^4 - 82x^2 + 81 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 82t + 81 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:
$t_1 + t_2 = 82$
$t_1 \cdot t_2 = 81$

Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 81$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1. При $t = 1$:
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1}$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

2. При $t = 81$:
$x^2 = 81$
$x = \pm\sqrt{81}$
$x_3 = 9$, $x_4 = -9$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-9; -1; 1; 9$.

2) Решим уравнение $x^4 + 12x^2 - 64 = 0$.

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 12t - 64 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400$.

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-12 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-12 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 4$ подходит. Корень $t_2 = -16$ не подходит, так как он отрицательный, и мы его отбрасываем.

Выполняем обратную замену для подходящего корня $t = 4$:
$x^2 = 4$
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

3) Решим уравнение $4x^4 - 21x^2 + 5 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид: $4t^2 - 21t + 5 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 441 - 80 = 361$.

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{361}}{2 \cdot 4} = \frac{21 + 19}{8} = \frac{40}{8} = 5$.
$t_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{361}}{2 \cdot 4} = \frac{21 - 19}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Оба корня $t_1 = 5$ и $t_2 = \frac{1}{4}$ являются положительными, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. При $t = 5$:
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$.

2. При $t = \frac{1}{4}$:
$x^2 = \frac{1}{4}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{5}$.

4) Решим уравнение $3x^4 + 16x^2 - 12 = 0$.

Выполним замену $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $3t^2 + 16t - 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 20}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$t_2 = \frac{-16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 - 20}{6} = \frac{-36}{6} = -6$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним. Остается только корень $t_1 = \frac{2}{3}$.

Выполним обратную замену: $x^2 = \frac{2}{3}$.

Отсюда находим $x$:
$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}$.