Номер 170, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Скорость легкового автомобиля на 30 км/ч больше скорости грузового, поэтому 180 км он проезжает на 1 ч быстрее грузового автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость грузового автомобиля равна $x$ км/ч.

Поскольку скорость легкового автомобиля на 30 км/ч больше, то его скорость будет равна $(x + 30)$ км/ч.

Время движения можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. В нашем случае расстояние $S = 180$ км.

Время, которое затратил на путь грузовой автомобиль, составляет $t_г = \frac{180}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь легковой автомобиль, составляет $t_л = \frac{180}{x+30}$ часов.

В условии сказано, что легковой автомобиль проезжает 180 км на 1 час быстрее грузового. Это значит, что время грузового автомобиля на 1 час больше времени легкового. Составим уравнение, отражающее эту разницу:

$t_г - t_л = 1$

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+30} = 1$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+30)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -30$. Так как $x$ — это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.

$180(x+30) - 180x = x(x+30)$

Раскроем скобки:

$180x + 5400 - 180x = x^2 + 30x$

Приведем подобные слагаемые:

$5400 = x^2 + 30x$

Получим стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 30x - 5400 = 0$

Для его решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5400) = 900 + 21600 = 22500$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-30 + 150}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-30 - 150}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -90$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Найдем скорость легкового автомобиля:

$60 + 30 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость грузового автомобиля — 60 км/ч, скорость легкового автомобиля — 90 км/ч.