Номер 174, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Катер прошёл 20 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на путь против течения на 20 мин больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. При этом очевидно, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время, затраченное катером на путь в 20 км против течения, равно $t_{против} = \frac{20}{x - 2}$ ч.

Время, затраченное катером на путь в 16 км по течению, равно $t_{по} = \frac{16}{x + 2}$ ч.

По условию задачи, на путь против течения катер затратил на 20 минут больше, чем на путь по течению. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из условия задачи:

$\frac{20}{x - 2} - \frac{16}{x + 2} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2)$:

$\frac{20(x + 2) - 16(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{3}$

$\frac{20x + 40 - 16x + 32}{x^2 - 4} = \frac{1}{3}$

$\frac{4x + 72}{x^2 - 4} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции:

$3(4x + 72) = 1(x^2 - 4)$

$12x + 216 = x^2 - 4$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x - 216 - 4 = 0$

$x^2 - 12x - 220 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220) = 144 + 880 = 1024$

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 32}{2} = \frac{44}{2} = 22$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 32}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, собственная скорость катера равна 22 км/ч. Это значение удовлетворяет условию $x > 2$.

Ответ: 22 км/ч.