Номер 171, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Из пункта A в пункт B велосипедист ехал по дороге длиной $10 \text{ км}$, а из пункта B в пункт A возвращался по дороге длиной $12 \text{ км}$, затратив на обратный путь на $5 \text{ мин}$ меньше, чем на путь из пункта A в пункт B. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта A в пункт B, если из пункта B в пункт A он ехал со скоростью на $4 \text{ км/ч}$ большей, чем из пункта A в пункт B?

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из пункта А в пункт В. Тогда его скорость на обратном пути из пункта В в пункт А составляет $(x + 4)$ км/ч.

Время, затраченное на путь из А в В, равно $t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{AB}} = \frac{10}{x}$ часов.
Время, затраченное на обратный путь из В в А, равно $t_{BA} = \frac{S_{BA}}{v_{BA}} = \frac{12}{x+4}$ часов.

По условию, на обратный путь велосипедист затратил на 5 минут меньше. Переведем разницу во времени в часы: 5 мин = $\frac{5}{60}$ ч = $\frac{1}{12}$ ч.
Составим уравнение, исходя из того, что время в пути из А в В было больше времени в пути из В в А на $\frac{1}{12}$ часа:
$t_{AB} - t_{BA} = \frac{1}{12}$
$\frac{10}{x} - \frac{12}{x+4} = \frac{1}{12}$

Решим полученное уравнение. Общий знаменатель для левой части — $x(x+4)$, а для всего уравнения — $12x(x+4)$. Умножим обе части уравнения на $12x(x+4)$, при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne -4$:
$12 \cdot 10(x+4) - 12 \cdot 12x = 1 \cdot x(x+4)$
$120(x+4) - 144x = x^2 + 4x$
$120x + 480 - 144x = x^2 + 4x$
$480 - 24x = x^2 + 4x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 4x + 24x - 480 = 0$
$x^2 + 28x - 480 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 784 + 1920 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 52}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 52}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста из пункта А в пункт В равна 12 км/ч.

Проверим найденное решение:
Скорость из А в В: 12 км/ч. Время: $\frac{10}{12}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч = 50 мин.
Скорость из В в А: $12 + 4 = 16$ км/ч. Время: $\frac{12}{16}$ ч = $\frac{3}{4}$ ч = 45 мин.
Разница во времени: $50 - 45 = 5$ мин. Решение верно.

Ответ: скорость велосипедиста из пункта А в пункт В равна 12 км/ч.